23、平滑正交和八边形绘图及小网格尺寸EPG表示法研究

平滑正交和八边形绘图及小网格尺寸EPG表示法研究

在图的绘制领域，平滑正交和八边形绘图以及EPG（Edge - Path - Grid）表示法是重要的研究方向。下面将详细介绍相关的研究内容。

平滑正交和八边形绘图

在图的绘制中，对于一些边具有x - 距离的情况，它们会被绘制为垂直段后接四分之一圆弧（圆弧半径可能为零）。这里有一个重要的定理：
- 定理7 ：一个具有n个顶点的最大平面图，在Kandinsky模型中，允许存在至少n - 1条复杂度为1的边的双单调平面平滑正交二维绘图，该绘图需要O(n⁴)的面积，并且可以在O(n²)的时间内计算得出。
- 证明概要 ：对于k = 3, …, n，在步骤2中，顶点vk与一条复杂度为1的边相关联。由于(v₁, v₂)被绘制为水平段，所以至少有n - 1条边的复杂度为1。通过归纳法证明其平面性，主要的不变量是Ck \ {(v₁, v₂)}上的所有边都有一个四分之一圆弧，并且可能有一个垂直段。时间和面积要求的证明可参考相关研究。

EPG表示法

EPG表示法是将图的每个顶点用矩形网格中的路径表示，当且仅当表示顶点v和w的路径共享一个网格边时，(v, w)才是图G中的一条边。根据边的单调性要求，EPG表示法有三种自然变体：
- 边无单调性要求。
- 边要求x - 单调。
- 边要求x和y都单调（xy + - 单调）。

研究的重点是了解在不同图参数下，这些EPG表示法所需的最小网格大小。

1. 引言

• 网格定义