44、图论中的近似算法与通用点集研究

图论中的近似算法与通用点集研究

1. B1 - EPG 图的近似算法

1.1 最大独立集问题

在 B1 - EPG 图中，为了找到最大独立集，我们使用了算法 4.1 作为算法 4.2 的构建块。算法 4.1 可以通过将表示旋转 180°，从 Greedy - ⌟⌞ - EPG - Independent - Set 转变为 Greedy - ⌝⌜ - EPG - Independent - Set。

算法 4.2 的具体步骤如下：

Algorithm 4.2 B1 - EPG Independent Set 4 - Approximation(G = ⟨P, G⟩)
1: let P = P⌞∪P⌟∪P⌝∪P⌜
2: S1 ←Greedy - ⌟⌞ - EPG - Independent - Set(P⌞∪P⌟)
3: S2 ←Greedy - ⌝⌜ - EPG - Independent - Set(P⌜∪P⌝)
4: return the largest amongst S1, S2

定理 6 表明，当在 B1 - EPG 图上使用算法 4.2 时，能达到 4 - 近似。具体证明过程如下：
设 ⟨P, G⟩ 是 G 的 B1 - EPG 表示，令 P = P⌞∪P⌟∪P⌝∪P⌜，G1 和 G2 分别是以 ⟨P⌞∪P⌟, G⟩ 和 ⟨P⌜∪P⌝, G⟩ 为表示的 ⌟⌞ - EPG 图。显然，α(G) ≤ α(G1) + α(G2)。
设 S1 和 S2 是算法中第 2 步和第 3 步计算得到的集合。根据引理 2，我们有：