2、平面图形的对齐绘制

平面图形的对齐绘制

1. 引言

在实际应用中，可能会遇到非可拉伸的排列情况，例如帕普斯构形。在实际应用里，比如用户交互场景下，需要拉伸的线条数量通常较少。同时，存在一些 8 - 对齐图，其中有单条边无法实现对齐绘制。对齐绘制这一概念推广了之前 Da Lozzo 等人和 Biedl 等人针对单条线的研究问题，我们将研究拓展到一般的线排列上。

除了上述紧密相关的工作外，还有其他一些关于图形绘制中顶点对齐的研究。例如，Dujmović 证明每个 n 顶点的平面图都有一个平面直线绘制，使得 Ω(√n) 个顶点对齐；Da Lozzo 等人表明在平面树宽为 3 的图中，可以对齐 Θ(n) 个顶点，在树宽为 k 的图中可以对齐 Ω(k²) 个顶点。Chaplik 等人研究了用 k 条线覆盖平面图所有边的绘制问题，发现判断这种绘制是否存在是 NP 难的，而判断是否存在所有顶点都在 k 条线上的绘制问题仍未解决。Dujmović 等人研究了给定顶点和线之间映射的图在 n 条线上的绘制。

我们的研究内容和大纲如下：首先在拓扑设置下，给定平面图 G 和要对齐的顶点集 S，证明该问题是 NP 难的，但相对于 |S| 是固定参数可处理（FPT）的。之后在几何设置下，研究对齐图的对齐绘制。对于 1 - 对齐图，我们加强了 Da Lozzo 等人和 Biedl 等人的结果，证明在给定外表面的凸绘制时，存在 1 - 对齐绘制。对于 k - 对齐图，当每条边要么完全在伪线上，要么最多与一条伪线相交时，证明对于任意 k 值，这样的 k - 对齐图都有对齐绘制。

2. 预备知识

设 A 是一组 k 条伪线 L₁, …, Lₖ 的伪线排列，(G, A) 是一个对齐图。A 中的