3、平面图形绘制：对齐与边长比的研究

平面图形绘制：对齐与边长比的研究

一、对齐图形绘制相关理论

在对齐图形绘制领域，有诸多重要的理论和结论。对于对齐图 $(G, R)$，若其外面对齐部分 $(O, R)$ 有凸对齐绘制 $(Γ_O, R)$，则存在与 $(G, R)$ 具有相同直线 $R$ 且外表面按 $Γ_O$ 绘制的对齐绘制 $(Γ, R)$。
证明时，对于任意对齐图 $(G, R)$，首先利用特定引理对其进行三角剖分。当图中存在自由边或对齐边 $e$ 时，若 $e$ 在分隔三角形内，就使用相关引理对图进行分解；若不在，则直接对 $e$ 进行收缩。若不存在这样的边，那么 $(G, R)$ 要么是三角形，要么是 $k$ 轮图，且具有明显的直线对齐绘制。最后，通过反转收缩和沿分隔三角形分解的顺序，得到 $(G, R)$ 的对齐绘制。

对于对齐复杂度为 $(1, 0, ⊥)$ 的 $k$ 对齐图 $(G, A)$，即每条边最多有一个内部交点且禁止 2 - 锚定边的情况，有如下重要引理：
- 引理 7 ：若 $(G, A)$ 是一个适当的 $k$ 对齐三角剖分，且既不包含内部自由边，也不包含 0 - 锚定对齐边和分隔三角形，那么：
1. 每个交点都包含一个顶点。
2. 伪线排列的每个单元格恰好包含一个自由顶点。
3. 每个伪线段要么被两条对齐边覆盖，要么被一条边相交。

该引理的证明基于以下几个声明：
1. 声明 1 ：每个伪线段交替与灵活对齐顶点和边相交。假设伪线段 $S$ 连续与两条边 $e_1$ 和 $e_2$ 相交，由于图是三角剖分，$e_1$ 和 $e_2$ 共享一个端点 $v