矩阵 AB 和 BA 相似

同阶矩阵 A 和 B 相似的充要条件：特征多项式相同，即
$$|\lambda I-A|=|\lambda I-B|$$

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引理：假设 $A\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$，$B\in {\mathbb{R}}^{n\times m}$
$${\left[\begin{array}{cc}AB& 0\\ B& 0\end{array}\right]}_{(m+n)\times (m+n)}\sim {\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ B& BA\end{array}\right]}_{(m+n)\times (m+n)}$$
证明：
$$\left[\begin{array}{cc}{I}_m& -A\\ & I_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}AB& 0\\ B& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{I}_m& A\\ & I_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ B& BA\end{array}\right]$$

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由引理和相似的充要条件可得：
$$\left|\begin{array}{cc}\lambda I_m-AB& 0\\ B& \lambda I_n\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}\lambda I_m& 0\\ B& \lambda I_n-BA\end{array}\right|$$因此有
$$|\lambda I_m-AB|{\lambda }^n={\lambda }^m|\lambda I_n-BA|$$
特别的，如果 $m=n$, 即可推出 AB 相似于 BA，因为
$$|\lambda I-AB|=|\lambda I-BA|.$$

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由此可以得到一些有趣的结论，比如 $\forall x,y\in {\mathbb{R}}^{n\times 1}$，$x{y}^T$ 可以对角化。
因为
$$x{y}^T={\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]}_{n\times 1}{\left[\begin{array}{ccc}{y}_1& \cdots & y_n\end{array}\right]}_{1\times n}={\left[\begin{array}{cccc}{x}_1& 0& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ x_n& 0& \cdots & 0\end{array}\right]}_{n\times n}{\left[\begin{array}{ccc}{y}_1& \cdots & y_n\\ 0& \cdots & 0\\ ⋮& & ⋮\\ 0& \cdots & 0\end{array}\right]}_{n\times n}$$
将扩充的矩阵记为 X 和 Y，则有 $XY\sim YX$, 即
$$\begin{gathered} x{y}^T=XY\sim YX={\left[\begin{array}{ccc}{y}_1& \cdots & y_n\\ 0& \cdots & 0\\ ⋮& & ⋮\\ 0& \cdots & 0\end{array}\right]}_{n\times n}{\left[\begin{array}{cccc}{x}_1& 0& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ x_n& 0& \cdots & 0\end{array}\right]}_{n\times n} \\ ={\left[\begin{array}{cccc}{y}^{T}x& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 0\end{array}\right]}_{n\times n} \end{gathered}$$
可见 $x{y}^T$ 相似于对角阵。