该内容探讨了正定矩阵的性质，证明了AB=BA是AB为正定矩阵的充要条件，并通过矩阵变换展示了其对称性和相似性。涉及到矩阵理论中的正定性及其在数学和工程领域的应用。
题目：
已知 AAA 和 BBB 是正定矩阵，证明 AB=BAAB=BAAB=BA 的充要条件是 ABABAB 是正定矩阵
参考答案：
先证明充分性。如果 ABABAB 是正定矩阵，所以
AB=(AB)′=B′A′=BAAB=(AB)'=B'A'=BAAB=(AB)′=B′A′=BA
再证明必要性。如果 AB=BAAB=BAAB=BA,那么
(AB)′=B′A′=BA=AB(AB)'=B'A'=BA=AB(AB)′=B′A′=BA=AB
所以 ABABAB 是对称矩阵。
因为 A,BA,BA,B 正定，所以存在可逆矩阵 P,QP,QP,Q 使得
A=P′PB=Q′QA=P'P\qquad B=Q'QA=P′PB=Q′Q
那么 AB=P′PQ′QAB=P'PQ'QAB=P′PQ′Q
QABQ−1=QP′PQ′=(PQ′)′(PQ)QABQ^{-1}=QP'PQ'=(PQ')'(PQ)QABQ−1=QP′PQ′=(PQ′)′(PQ)
所以 QABQ−1QABQ^{-1}QABQ−1 正定，而 QABQ−1QABQ^{-1}QABQ−1 和 ABABAB 相似，所以 ABABAB 正定
2021年1月7日23:33:07
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