人工智能之数学基础:等价矩阵、合同矩阵、相似矩阵

本文重点

我们前面学习了等价矩阵、合同矩阵、相似矩阵，在线性代数中有几个关系需要我们了解和区分，分别是合同矩阵、相似矩阵、等价矩阵

矩阵等价

当A和B矩阵等价的时候，需要满足下面的条件：PAQ=B，此时P和Q都是可逆的，那么此时A和B等价，等价的两个矩阵秩相等。

当矩阵A与矩阵B等价，也就是说矩阵A经过初等变换可得到B。

合同矩阵（针对方阵而言）

当A和B矩阵合同的时候，需要满足下面的条件：C^TAC=B，此时C是可逆的，此时A和B合同，合同的两个矩阵秩和正负惯性指数相同（标准型主对角线上的非零因子）(两个矩阵对应的规范型相同)

设A,B均为实数域上的n阶对称矩阵,则A与B在实数域上合同等价于A与B有相同的正、负惯性指数，正惯性指数+负惯性指数等于秩，所以也可以说如果两个矩阵合同等价于他们的秩和正惯性指数相等

合同的矩阵是同一个内积在不同基下的矩阵，XTAX=YTBY，A和B其实就是同一个内积在不同基下的不同矩阵的表示

相似矩阵（针对方阵而言）

当A和B矩阵相似的时候，需要满足下面的条件：P^(-1)AP=B，此时P是可逆的，此时A和B相似，相似的两个矩阵秩，正负惯性指数，特征值均相同

对于n阶方阵,A，B，若存在n阶可逆矩阵P，Q 使PAQ=B,(A与B等价)，且PQ=E (E为n阶单位矩阵)，则A与B相似

所谓相似矩阵，就是同一个线性变换的不同基的描述矩阵。这就是相似变换的几何意义，相似变换是为了简化计算，因为