本文详细介绍了计算随机变量期望的几种方法，包括使用概率质量函数、概率密度函数以及累积分布函数。对于非负随机变量，通过累积分布函数提供了一种简便的计算方式。此外，还给出了取值为离散自然数的随机变量期望的计算公式，并提供了两种证明过程。
一般计算期望的方法为：
E(x)=∑xxP(x)
E(x) = \sum_x xP(x)
E(x)=x∑xP(x)或者
E(x)=∫xP(x)dx
E(x) = \int xP(x)dx
E(x)=∫xP(x)dx
但如果我们已知 非负 随机变量的累积分布函数(CDF)为 F(x)F(x)F(x) 时，可以用如下方式计算：
E(x)=∫0∞1−F(x)dx
E(x) = \int_0^\infty 1-F(x)dx
E(x)=∫0∞1−F(x)dx
或者对于取值为离散自然数的随机变量
E(x)=∑n=0∞Pr(x≥n)
E(x) = \sum_{n=0}^\infty Pr(x\geq n)
E(x)=n=0∑∞Pr(x≥n)
证明1：
E(x)=∫0∞yP(y)dy=∫0∞∫0yP(y)dxdy=∫0∞∫x∞P(y)dydx=∫0∞1−F(x)dx
E(x) = \int_0^{\infty} yP(y)dy = \int_0^{\infty} \int_0^yP(y)dxdy \\= \int_0^{\infty} \int_x^{\infty}P(y)dydx = \int_0^{\infty} 1-F(x)dx
E(x)=∫0∞yP(y)dy=∫0∞∫0yP(y)dxdy=∫0∞∫x∞P(y)dydx=∫0∞1−F(x)dx
证明2：
E(x)=∑k=0∞kPr(x=k)=∑k=0∞∑n=0kPr(x=k)=∑n=0∞∑k=n∞Pr(x=k)=∑n=0∞Pr(x≥n)
E(x) = \sum_{k=0}^{\infty} kPr(x=k) = \sum_{k=0}^{\infty}\sum_{n=0}^{k} Pr(x=k) \\=\sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=n}^{\infty}Pr(x=k) = \sum_{n=0}^\infty Pr(x\geq n)
E(x)=k=0∑∞kPr(x=k)=k=0∑∞n=0∑kPr(x=k)=n=0∑∞k=n∑∞Pr(x=k)=n=0∑∞Pr(x≥n)
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