18、量子联想记忆的光谱特性

量子联想记忆的光谱特性

1. 引言

在联想记忆中，假设每个权重 $w_{ij}$ 是一个随机变量，其概率密度函数 $\psi(w_{ij},t)$ 由薛定谔扩散方程的解给出。薛定谔方程的解可以写成广义傅里叶级数的形式：
$\psi(w_{ij},t)=\sum_{k = 0}^{\infty}c_{k}\psi_{k}(w_{ij},t)$
其中，$\psi_{k}(w_{ij},t)$ 是正交基函数，系数 $c_{k}$ 表示在时刻 $t$，$w_{ij}$ 的值由特征函数 $\psi_{k}(w_{ij},t)$ 描述的概率。权重 $w_{ij}$ 的均值为：
$\langle w_{ij}\rangle=\sum_{k = 1}^{\infty}c_{k}^{2}\lambda_{k}$
这里，$c_{k}^{2}$ 表示权重由特征函数 $\psi_{k}$ 描述的概率，$\lambda_{k}$ 是与 $\psi_{k}$ 相关的特征值。

若将概率 $c_{k}^{2}$ 替换为模糊隶属函数 $\mu_{A_{k}}(w_{ij})$，并使 $\sum_{k = 1}^{\infty}\mu_{A_{k}}(w_{ij}) = 1$，则有 $\langle w_{ij}\rangle=\sum_{k = 1}^{\infty}\mu_{A_{k}}(w_{ij})\lambda_{k}$。

将权重矩阵 $W$ 的元素 $w_{ij}$ 视为随机变量，意味着 $W$ 可以分解为多个叠加的联想记忆：
$W=\sum_{i = 1}^{2^{N}}\mu_{i}\tilde{W} {i}$
其中，非负系数 $