18、量子联想记忆的光谱特性解析

量子联想记忆的光谱特性解析

1. 引言

量子联想记忆是在假设关联记忆的权重 $w_{ij}$ 为随机变量的基础上，从 Hopfield 记忆模型推导而来。每个权重的概率密度函数由薛定谔扩散方程的解给出。其解可写成广义傅里叶级数形式：$\Psi(t,w_{ij}) = \sum_{k = 0}^{\infty} c_k \psi_k(t,w_{ij})$，其中 $\psi_k(t,w_{ij})$ 是正交基函数，系数 $c_k$ 表示在时刻 $t$ 时，$w_{ij}$ 的值由特征函数 $\psi_k(t,w_{ij})$ 描述的概率。

权重矩阵 $W$ 的权重 $w_{ij}$ 为随机变量时，$W$ 可分解为叠加的关联记忆 $\sum_{i = 1}^{2^N} \mu_i \tilde{W}_i$，非负系数 $\mu_i$ 表示每个局部关联记忆 $\tilde{W}_i$ 对总结果的贡献，这使得吸引子的数量增加了 $2^N$ 倍。

量子联想记忆的光谱分析基于先前对小波功率谱的研究，得出以下结论：
- 量子联想记忆中权重 $w_{ij}$ 的高斯基函数表示 $w_{ij}$ 能量分布的离散水平。基函数的展宽 $\sigma$ 越小，其中可捕获的光谱（能量）内容就越大。$w_{ij}$ 中高斯函数的窄展宽会导致傅里叶变换 $F(w_{ij})$ 的频率范围变宽。
- 权重 $w_{ij}$ 的能量水平是离散的。薛定谔方程的本征解形式为 $\Psi(t,w_{ij}) = e^{-i\omega t} \chi(w_{ij})$，且有 $\hat{H} \chi_k(w_{ij}) = E_k \chi_k(w_{ij})$，其中 $\hat{H}$ 是系统的哈密