计算机算法与图像处理实验解析-优快云博客

1、证明前向和后向均方误差最优预测器互为共轭反转。

由公式推导可知，MSE-最优前向预测器 $ a_m $ 和 MSE-最优后向预测器 $ b_m $ 满足：

$$
a_m = J_m b^ _m \quad \Rightarrow \quad b_m = J_m a^ _m
$$

即：

$$
a_m := [a_m(0), \dots, a_m(m - 1)]^T = J_m b^ _m := [b^ _m(m - 1), \dots, b^*_m(0)]^T
$$

这表明最优前向预测器是后向预测器的共轭反转。

此性质源于所涉及过程的平稳性，因为统计特性仅取决于时间瞬间的差值，前向和后向预测本质差异不大，都是基于一组样本预测未来一个样本（前向预测）或过去一个样本（后向预测）。

2、从网络上下载一张灰度图像，使用MATLAB的“imread”函数将图像加载到内存中，并使用“im2double”函数将其转换为双精度数组。使用MATLAB的“fspecial”命令创建模糊点扩散函数（PSF），例如可以编写PSF = fspecial(‘motion’,20,45); 使用“imfilter”函数产生模糊效果，即J = imfilter(I,PSF,’conv’, ‘circ’); 其中I是原始图像。使用MATLAB的“imnoise”函数为图像添加高斯白噪声，如下所示：J = imnoise(J, ‘gaussian’, noise_mean, noise_var); 使用较小的噪声方差值，如10⁻⁶。要进行去模糊处理，需要使用“deconvwnr”函数。例如，如果J是包含模糊图像（带有噪声）的数组，PSF是产生模糊的点扩散函数，那么命令K = deconvwnr(J, PSF, C); 将返回去模糊后的图像K，前提是C的选择合理。首次尝试时，选择C = 10⁻⁴。自行选择不同的C值并对结果进行评价。

以下是实现该任务的MATLAB代码示例：

% 读取图像
I = imread('your_image.jpg'); % 替换为实际图像文件名
I = im2double(I); % 转换为双精度数组

% 创建模糊点扩散函数
PSF = fspecial('motion',20,45);

% 产生模糊效果
J = imfilter(I,PSF,'conv', 'circ');

% 添加高斯白噪声
noise_mean = 0;
noise_var = 1e-6;
J = imnoise(J, 'gaussian', noise_mean, noise_var);

% 去模糊处理
C_values = [1e-4, 1e-5, 1e-3]; % 不同的C值
figure;
for i = 1:length(C_values)
    C = C_values(i);
    K = deconvwnr(J, PSF, C);
    subplot(1, length(C_values), i);
    imshow(K);
    title(['C = ', num2str(C)]);
end

在上述代码中，首先读取图像并转换为双精度数组，然后创建模糊点扩散函数并产生模糊效果，接着添加高斯白噪声。之后选择不同的C值进行去模糊处理，并将结果显示在同一窗口中。对于结果的评价，一般来说，C值过小可能无法有效去除模糊，图像仍然模糊；C值过大可能会引入过多噪声，使图像质量变差。合适的C值能在去除模糊的同时尽量减少噪声的影响，使图像恢复到接近原始图像的状态。

3、考虑均方误差（MSE）成本函数。设互相关向量 p = [0.05, 0.03]ᵀ。同时考虑两个协方差矩阵，Σ₁ = [1 0; 0 0.1]，Σ₂ = [1 0; 0 1]。计算相应的最优解 θ(∗,1) = Σ₁⁻¹p 和 θ(∗,2) = Σ₂⁻¹p。使用梯度下降方案来估计 θ(∗,2)；将步长设置为：(a) 最优值 μₒ；(b) μₒ/2。对于这两种步长选择，绘制每次迭代步骤 i 时的误差 ∥θ(i) - θ(∗,2)∥²。比较这两条曲线向零收敛的速度。此外，在二维空间中，绘制两种步长下连续估计值 θ(i) 的系数，以及成本函数的等值线。观察向最小值的轨迹有什么特点？使用 Σ₁⁻¹ 和 p，应用梯度下降方案来估计 θ(∗,1)。使用上一个实验中的步长 μₒ。在同一图中，绘制之前计算的误差曲线 ∥θ(i) - θ(∗,2)∥² 和误差曲线 ∥θ(i) - θ(∗,1)∥²。比较收敛速度。现在将步长设置为与 Σ₁ 相关的最优值。再次在二维空间中，绘制连续估计值和成本函数的等值线。比较收敛所需的步数与上一个实验所需的步数。尝试不同的协方差矩阵和步长。

计算最优解 ：首先，根据给定的协方差矩阵 Σ₁、Σ₂ 和互相关向量 p，计算最优解
θ(∗,1) = Σ₁⁻¹p 和 θ(∗,2) = Σ₂⁻¹p。
估计 θ(∗,2) ：应用梯度下降方案估计 θ(∗,2)，分别采用步长
(a) 最优值 μₒ 和
(b) μₒ/2。
对于这两种步长，绘制每次迭代步骤 i 时的误差
∥θ(i) - θ(∗,2)∥²，
根据曲线判断收敛速度，通常步长较大时收敛快，但可能会有振荡；步长较小时收敛慢，但更稳定。
绘制二维图形 ：在二维空间中，绘制两种步长下连续估计值 θ(i) 的系数以及成本函数的等值线，观察轨迹特点，步长较大时轨迹可能更直接，步长较小时可能更曲折。
估计 θ(∗,1) ：使用 Σ₁⁻¹ 和 p，应用梯度下降方案估计 θ(∗,1)，步长采用上一实验的 μₒ。
在同一图中绘制
∥θ(i) - θ(∗,2)∥² 和 ∥θ(i) - θ(∗,1)∥²
并比较收敛速度。
改变步长 ：将步长设置为与 Σ₁ 相关的最优值，再次在二维空间中绘制连续估计值和成本函数的等值线，比较收敛所需步数与上一实验的差异。
尝试不同参数 ：尝试不同的协方差矩阵和步长，观察对收敛速度和轨迹的影响。