64、图论中的博弈与社区检测算法研究

图论中的博弈与社区检测算法研究

1. 总支配集博弈的计算复杂度

1.1 博弈论概念复杂度研究现状

近年来，计算复杂度作为博弈论概念的合理度量，受到了越来越多的关注。不同类型的博弈在核心（core）相关的计算复杂度上表现各异。例如，对于最小成本生成树博弈，其核心总是非空的，并且可以在多项式时间内找到一个核心元素，但成员测试问题是 co - NP 完全的。对于设施选址博弈，如果核心非空，可以在多项式时间内找到一个核心元素，成员测试问题也能在多项式时间内解决，但判断核心是否非空是 NP 完全的。

1.2 总支配集博弈（TDS）核心复杂度问题

本文聚焦于总支配集博弈（TDS）核心的计算复杂度问题。首先证明了对于一般图，两种 TDS 博弈的平衡性测试问题是 NP 完全的。由此可推出，判断给定的成本分配是否属于核心也是 NP 难的。不过，当核心非空时，根据定理 3.4，两种博弈都可以在多项式时间内找到一个核心元素。

定理 4.1

设 $\Gamma = (N, c)$ 和 $\tilde{\Gamma} = (N, \tilde{c})$ 分别是对应于图 $G = (V, E; \omega)$ 的刚性和松弛 TDS 博弈。那么，判断 $\Gamma = (N, c)$ 或 $\tilde{\Gamma} = (N, \tilde{c})$ 的核心是否非空是 NP 完全的。

证明过程

通过定理 3.4，只需证明判断线性规划松弛问题 $LP(G)$ 是否有整数最优解是 NP 完全的。判断 $LP(G)$ 是否有整数最优解显然属于 NP 问题。为证明其 NP 难，我们从一个著名的