5、计算 Fisher 均衡的原始 - 对偶算法

计算 Fisher 均衡的原始 - 对偶算法

1. 引言

市场均衡的研究在实证（描述性）经济学和规范（规定性）经济学中都占据着核心地位。市场均衡的概念最初由瓦尔拉斯（Walras）提出，这种均衡通常被称为竞争均衡或瓦尔拉斯均衡。与瓦尔拉斯同时代，欧文·费雪（Irving Fisher）在 1891 年也独立地对市场均衡进行了建模。不过，费雪的模型是瓦尔拉斯模型的一个特殊情况。

费雪的市场模型假设市场中有两种交易者：买家和卖家，他们交易有限数量的商品。买家拥有资金和对商品的效用函数，卖家拥有商品的初始禀赋并希望赚取资金。均衡价格被定义为对商品的定价方式，使得每个消费者购买最优商品组合时，市场达到出清状态，即所有资金都被花完，所有商品都被售出。如果将资金也视为一种商品，那么很容易看出费雪模型是瓦尔拉斯模型的特殊情况。

市场均衡的存在性是一个被深入研究的问题。阿罗（Arrow）和德布鲁（Debreu）的开创性工作通过应用角谷不动点定理，证明了在相当一般的凹效用函数设定下，竞争市场均衡的存在性。然而，阿罗 - 德布鲁的证明本质上是非构造性的，因此自然会产生一个问题：是否存在一种有效的计算过程来确定均衡。本文提供了第一个强多项式时间的精确组合算法，用于计算当效用函数不满足总替代性属性时的费雪均衡。该算法的时间复杂度与输入数据的值无关，并且算法的输出仅由有理数组成。

2. 相关工作

帕帕迪米特里欧（Papadimitriou）和邓（Deng）等人的近期论文提出并部分回答了瓦尔拉斯均衡的有效计算问题。从多个角度探讨了开发计算瓦尔拉斯均衡的有效算法的问题。一些算法基于求解非线性凸规划，遵循艾森伯格（Eisenberg）和盖尔（Gale）的经典方法；其他