4、具有列昂惕夫效用的交换市场均衡

具有列昂惕夫效用的交换市场均衡

在经济领域，市场均衡问题一直是研究的核心。本文将深入探讨具有列昂惕夫效用的交换市场均衡，涉及Fisher价格均衡、加权解析中心问题、Arrow - Debreu均衡问题等多个方面。

Fisher价格均衡与拉格朗日乘数

在交换市场中，最优拉格朗日乘数向量与Fisher价格均衡存在紧密联系。从优化条件来看，对于某些$p_j$（$j\in P$的等式约束的拉格朗日乘数）和$\pi_{i}^{k}\geq0$（$i\in C$和$k$的不等式约束的拉格朗日乘数），满足以下条件：
- $p_j - \sum_{k}\pi_{i}^{k}u_{ij}^{k}\geq0, \forall i, j$
- $\pi_{i}^{k}(\sum_{j\in P}u_{ij}^{k}x_{ij} - u_i) = 0, \forall i, k$
- $x_{ij}(p_j - \sum_{k}\pi_{i}^{k}u_{ij}^{k}) = 0, \forall i, j$
- $u_i\sum_{k}\pi_{i}^{k} = w_i, \forall i$

通过对约束条件求和，可以得出从聚合问题得到的$x_i$对于某个问题是可行的。并且，（6）中的$\pi_{i}^{k}$等于（4）中的$\pi_{i}^{k}/\lambda_i$。因此，寻找Fisher价格均衡等价于寻找（5）的最优拉格朗日乘数。

特别地，当每个$u_{i}^{k}(x_i)$具有列昂惕夫效用形式，即$u_{i}^{k}(x_i) = \frac{x_{ik}}{a_{ik}}, \forall k = j\in P$（$a_{ik}