96、早高峰通勤的定点模型与时刻表可靠性及Fisher市场均衡计算

早高峰通勤的定点模型与时刻表可靠性及Fisher市场均衡计算

早高峰通勤相关研究

在早高峰通勤的研究中，涉及多个重要的概念和模型。

1. 行程时间分布与迟到概率
   • 从起点 $r$ 在时刻 $t$ 出发，经路线 $p$ 前往终点 $s$ 的通勤者行程时间 $T_{p}^{rs}(t)$ 服从正态分布，即 $T_{p}^{rs}(t) \sim N\left[E\left(T_{p}^{rs}(t)\right),\left(\sigma\left(T_{p}^{rs}(t)\right)\right)^{2}\right]$。其中，$E\left(T_{p}^{rs}(t)\right)=\sum_{a}\sum_{k \geq t} \tau_{a}(k) \delta_{apt}^{rs}(k)$，$\sigma\left(T_{p}^{rs}(t)\right)=\sqrt{\sum_{a}\sum_{k \geq t}\left(\sigma_{a}(k)\right)^{2} \delta_{apt}^{rs}(k)}$。
   • 通勤者迟到的概率可表示为 $P\left{t + T_{p}^{rs}(t) > t_{s}^{ }+\Delta_{s}\right}=1 - \Phi\left(\frac{t_{s}^{ }+\Delta_{s}-t - E\left(T_{p}^{rs}(t)\right)}{\sigma\left(T_{p}^{rs}(t)\right)}\right)$。这里，$N(\cdot)$ 是正态分布变量 $T_{p}^{rs}(t)$ 的密度函数，$\Phi(\cdot)$ 是标准正态分布的分布函数。
2. 时刻表延误成本
   • 当 $t + T_{p}^{rs}(t) < t_{s}^{ }-\Delta_{s}$ 时，提前到达的预期时刻表延误成本为：
     [
     \begin{align }
     &\int_{0}^{t_{s}^{ }-\Delta_{s}-t} \beta\left(t_{s}^{ }-\Delta_{s}-t-\xi\right) N(\xi) d \xi\
     =&\beta\left(\frac{\sigma\left(T_{p}^{rs}(t)\right)}{\sqrt{2 \pi}}\right)\left[\exp\left(-\frac{1}{2}\left(\frac{t_{s}^{ }-\Delta_{s}-t - E\left(T_{p}^{rs}(t)\right)}{\sigma\left(T_{p}^{rs}(t)\right)}\right)^{2}\right)-\exp\left(-\frac{1}{2}\left(\frac{E\left(T_{p}^{rs}(t)\right)}{\sigma\left(T_{p}^{rs}(t)\right)}\right)^{2}\right)\right]\
     &+\beta\left(t_{s}^{ }-\Delta_{s}-t - E\left(T_{p}^{rs}(t)\right)\right)\left[\Phi\left(\frac{t_{s}^{ }-\Delta_{s}-t - E\left(T_{p}^{rs}(t)\right)}{\sigma\left(T_{p}^{rs}(t)\right)}\right)-\Phi\left(-\frac{E\left(T_{p}^{rs}(t)\right)}{\sigma\left(T_{p}^{rs}(t)\right)}\right)\right]
     \end{align }
     ]
   • 当 $t + T_{p}^{rs}(t) > t_{s}^{ }+\Delta_{s}$ 时，迟到的预期时刻表延误成本为：
     [
     \begin{align }
     &\int_{t_{s}^{ }+\Delta_{s}-t}^{\infty} \gamma\left(t - t_{s}^{ }-\Delta_{s}+\xi\right) N(\xi) d \xi\
     =&\gamma\left(\frac{\sigma\left(T_{p}^{rs}(t)\right)}{\sqrt{2 \pi}}\right) \exp\left(-\frac{1}{2}\left(\frac{t_{s}^{ }+\Delta_{s}-t - E\left(T_{p}^{rs}(t)\right)}{\sigma\left(T_{p}^{rs}(t)\right)}\right)^{2}\right)\
     &+\gamma\left(t_{s}^{ }+\Delta_{s}-t + E\left(T_{p}^{rs}(t)\right)\right)\left[1 - \Phi\left(\frac{t_{s}^{ }+\Delta_{s}-t - E\left(T_{p}^{rs}(t)\right)}{\sigma\left(T_{p}^{rs}(t)\right)}\right)\right]
     \end{align }
     ]

3. 定点模型

   • 通勤者感知的路线行程负效用 $\hat{\Omega} {p}^{rs}(t)$ 由系统分量 $\Omega {p}^{rs}(t)$ 和随机误差 $\xi_{p}^{rs}(t)$ 组成，即 $\hat{\Omega} {p}^{rs}(t)=\Omega {p}^{rs}(t)+\xi_{p}^{rs}(t)$。其中，$\xi_{p}^{rs}(t)=\sum_{a}\sum_{k \geq t} \xi_{a}(k) \delta_{apt}^{rs}(k)$，且 $\xi_{a}(t) \sim N\left(0,\left(\lambda_{a} \tau_{a}(t)\right)^{2}\right)$。
   • 通勤者选择出发时刻 $t$ 和路线 $p$ 的概率为 $P_{p}^{rs}(t)=P\left{\hat{\Omega} {p}^{rs}(t)<\hat{\Omega} {q}^{rs}(k) \mid \forall k, t \in T, p, q \in P^{rs}, k \neq t, q \neq p\right}$。
   • 起点 - 终点对 $(r, s)$ 之间的总需求 $Q_{rs}=q_{rs}+\omega \sigma_{rs}$，路线流入量 $f_{p}^{rs}(t)=Q_{rs} P_{p}^{rs}(t)$。
   • 由此得到定点均衡 $f^{ }=Q \cdot P\left[\Omega\left(T\left(\tau\left(f^{ }\right)\right)\right)\right]$。由于路线行程时间本质上是非线性和非凸的，该定点模型是非凸的，可能存在多个局部解。

4. 求解方法
   采用结合蒙特卡罗模拟和逐次平均法（MSA）的启发式算法来求解定点模型，具体步骤如下：

   • 步骤1（初始化） ：选择初始路线流入量 $f^{(1)}$，并设 $n = 1$。
   • 步骤2（外循环操作） ：设 $\kappa = 1$。
   • 步骤3（内循环操作，即随机网络加载） ：
     • 步骤3.1 ：计算链路流入量 $u^{(\kappa)}$ 和预期链路行程时间 $\tau^{(\kappa)}$。
     • 步骤3.2 ：通过蒙特卡罗模拟生成随机链路行程时间和感知误差，计算感知路线行程负效用 $\hat{\Omega}_{p}^{rs(\kappa)}(t)$。
     • 步骤3.3 ：通过蒙特卡罗模拟生成起点 - 终点需求，采用全有全无加载将需求分配到网络上，得到辅助路线流入量 $\tilde{g}^{(\kappa)}$。
     • 步骤3.4 ：更新路线流入量 $g^{(\kappa)}=\frac{(\kappa - 1) g^{(\kappa - 1)}+\tilde{g}^{(\kappa)}}{\kappa}$。
     • 步骤3.5 ：如果样本数 $\kappa$ 小于指定样本大小，则令 $\kappa=\kappa + 1$ 并返回步骤3.1；否则，令 $g^{(n)}=g^{(\kappa)}$ 并转到步骤4。
   • 步骤4（更新） ：更新路线流入量 $f^{(n + 1)}=f^{(n)}+\frac{g^{(n)}-f^{(n)}}{n}$。
   • 步骤5（收敛检查） ：如果相对差距 $G=\frac{\left|f^{(n + 1)}-f^{(n)}\right|}{\left|f^{(n)}\right|}$ 小于指定精度 $\varepsilon$，则停止；否则，令 $n=n + 1$ 并返回步骤2。

以下是该算法的流程图：

graph TD
    A[初始化 f(1), n = 1] --> B[外循环: κ = 1]
    B --> C[内循环开始]
    C --> D[计算 u(κ) 和 τ(κ)]
    D --> E[生成随机变量并计算 Ω^rs(κ)p(t)]
    E --> F[生成 OD 需求并分配得到 g~(κ)]
    F --> G[更新 g(κ)]
    G --> H{κ < 样本大小?}
    H -- 是 --> D
    H -- 否 --> I[g(n) = g(κ)]
    I --> J[更新 f(n + 1)]
    J --> K{G < ε?}
    K -- 是 --> L[结束]
    K -- 否 --> M[n = n + 1, 回到外循环]

5. 时刻表可靠性
   • 引入基于路线和基于起点 - 终点对的时刻表可靠性指标。基于路线的时刻表可靠性如下：
     • 提前到达指定时间阈值 $[k_{1}, k_{2}]$ 的可靠性为 $P_{p}^{rs}(k_{1}, k_{2} \mid t)=\Phi\left(\frac{t_{s}^{ }-\Delta_{s}-k_{1}-t - E\left(T_{p}^{rs}(t)\right)}{\sigma\left(T_{p}^{rs}(t)\right)}\right)-\Phi\left(\frac{t_{s}^{ }-\Delta_{s}-k_{2}-t - E\left(T_{p}^{rs}(t)\right)}{\sigma\left(T_{p}^{rs}(t)\right)}\right)$。
     • 迟到到达指定时间阈值 $[k_{1}, k_{2}]$ 的可靠性为 $P_{p}^{rs}(k_{1}, k_{2} \mid t)=\Phi\left(\frac{t_{s}^{ }+\Delta_{s}+k_{2}-t - E\left(T_{p}^{rs}(t)\right)}{\sigma\left(T_{p}^{rs}(t)\right)}\right)-\Phi\left(\frac{t_{s}^{ }+\Delta_{s}+k_{1}-t - E\left(T_{p}^{rs}(t)\right)}{\sigma\left(T_{p}^{rs}(t)\right)}\right)$。
     • 准时到达时间窗口 $[t_{s}^{ }-\Delta_{s}, t_{s}^{ }+\Delta_{s}]$ 的概率为 $P_{p}^{rs}(t_{s}^{ }-\Delta_{s}, t_{s}^{ }+\Delta_{s} \mid t)=\Phi\left(\frac{(t_{s}^{ }+\Delta_{s}-t)-E\left(T_{p}^{rs}(t)\right)}{\sigma\left(T_{p}^{rs}(t)\right)}\right)-\Phi\left(\frac{(t_{s}^{ }-\Delta_{s}-t)-E\left(T_{p}^{rs}(t)\right)}{\sigma\left(T_{p}^{rs}(t)\right)}\right)$。
   • 基于起点 - 终点对的时刻表可靠性为 $P^{rs}(k_{1}, k_{2} \mid t)=\frac{\sum_{p \in P^{rs}} P_{p}^{rs}(k_{1}, k_{2} \mid t) f_{p}^{rs}(t)}{\sum_{p \in P^{rs}} f_{p}^{rs}(t)}$。

数值结果

以 Nguyen 和 Dupuis 网络为例，该网络有13个节点、19条链路和两个起点 - 终点对 $(1, 3)$ 和 $(2, 4)$。研究时段为早上6:00到10:00，分为16个15分钟的时间间隔。链路行程时间函数为 $\tau_{a}(t)=\left(\frac{L_{a}}{S_{a}}\right)\left(1.0 + 0.15 \times\left(\frac{u_{a}(t)}{C_{a}}\right)^{4}\right)$。

相关数据如下表所示：
|参数|数值|
| ---- | ---- |
|$q_{13}$|20000|
|$q_{24}$|10000|
|$\sigma_{13}$|2000|
|$\sigma_{24}$|1000|
|部分链路长度 $L_{a}$|链路18为24km，链路4和13为16km，其他为8km|
|自由流速度 $S_{a}$|40km/h|
|链路容量 $C_{a}$|3000 veh/h|
|$\alpha$|6.4 $/h|
|$\beta$|3.9 $/h|
|$\gamma$|15.21 $/h|
|$\theta$|0.58 $|
|$t_{s}^{*}$|9.0h|
|$\Delta_{s}$|0.25h|
|$\rho_{a}$|0.2|
|$\lambda_{a}$|0.15|
|$\varepsilon$|0.001|
|蒙特卡罗模拟样本大小 $\kappa$|2000|

研究发现，大多数通勤者在7:30 - 8:30之间离开起点，8:00 - 8:15是出发高峰。不同起点 - 终点对的时刻表可靠性存在差异，例如对于起点 - 终点对 $(1, 3)$，7:45 - 8:00出发准时到达的概率为80%；而对于起点 - 终点对 $(2, 4)$，同一时段出发准时到达的概率仅为60%，这是由于连接这两个起点 - 终点对的路径上交通条件不同所致。

早高峰通勤的定点模型与时刻表可靠性及Fisher市场均衡计算

Fisher市场均衡计算相关研究

1. 问题背景与模型
   在Fisher市场中，存在 $m$ 个买家和 $n$ 个卖家，每个卖家出售一单位商品。每个买家 $i$ 有预算 $B_{i}$ 和线性效用函数 $u_{i}=\sum_{j} u_{ij}x_{ij}$，其中 $u_{ij}$ 是非负数字，表示买家 $i$ 对商品 $j$ 的效用，$x_{ij}$ 是买家 $i$ 购买商品 $j$ 的数量。市场均衡是一个价格向量 $p \in R^{n}$ 和商品分配 $x$，满足在当前价格下，分配能使每个买家的效用最大化，同时受其预算约束。

2. 已有解决方法

   • 解决市场均衡问题有三种方法：凸规划、基于拍卖的算法和原始 - 对偶算法。
   • Jain、Vazirani 和 Ye 最近使用凸规划解决了具有任意数量生产约束的问题。
   • Kapoor、Mehta 和 Vazirani 提出了基于拍卖的解决方案。
   • 此前尚未针对该问题提出原始 - 对偶算法。

3. 本文提出的方法

   • 提出了将具有线性效用和线性单约束生产单元的 Fisher 市场问题简化为经典 Fisher 市场（无线性效用和无生产单元）问题的方法。
   • 这种简化不仅将 Devanur 等人的原始 - 对偶算法引入到单约束生产环境中，还具有以下优点：
     • 引入其他简单算法，如 Garg 和 Kapoor 的基于拍卖的算法，为 Kapoor、Mehta 和 Vazirani 最近的复杂算法提供了简单的见解。
     • 引入 Fisher 市场的所有良好特性，例如存在有理数均衡，以及均衡时买家效用的唯一性。

以下是该简化方法的优势列表：
|优势|说明|
| ---- | ---- |
|算法引入|导入原始 - 对偶算法和基于拍卖的算法|
|特性引入|引入有理数均衡和买家效用唯一性等特性|

研究总结与展望

1. 早高峰通勤研究总结
   • 建立了用于模拟随机和时变网络中早高峰通勤行为的定点问题，并提出了结合蒙特卡罗模拟和逐次平均法的启发式算法来解决该问题。
   • 通过计算时刻表可靠性，可以评估道路网络随时间变化的服务水平，反映不同时间段网络服务水平的差异。
2. Fisher市场研究总结
   • 提出了将具有线性单约束生产单元的 Fisher 市场问题简化为经典 Fisher 市场问题的方法，丰富了该问题的解决途径。
3. 未来研究展望
   • 对于早高峰通勤研究，未来可将活动和停车行为纳入出行链，并考虑出行的风险承担行为，进一步扩展模型。
   • 对于 Fisher 市场研究，可探索该简化方法在更复杂市场环境中的应用，以及与其他算法的结合优化。

整个研究过程的流程图如下：

graph LR
    A[早高峰通勤研究] --> B[建立定点模型]
    B --> C[提出启发式算法求解]
    C --> D[计算时刻表可靠性评估网络服务水平]
    E[Fisher市场研究] --> F[提出简化方法]
    F --> G[引入算法和特性]
    H[未来研究展望] --> I[早高峰通勤模型扩展]
    H --> J[Fisher市场应用探索]

综上所述，这两项研究分别在交通和市场领域提供了有效的模型和解决方法，为进一步的研究和实际应用奠定了基础。通过对这些问题的深入研究，可以更好地理解和优化交通系统和市场机制，提高资源的利用效率和社会福利。