35、化学趋化性与数学分析基础

化学趋化性与数学分析基础

1. 递归层次结构与质量量化

在之前的相关分析中，已表明具有归一化质量和剩余消失特性的子崩溃形成，确保了在特定条件下 (m(x_0) = 8\pi m)（(m \in N)）。对于通过解的弱缩放极限得到的缩放回 (A = A(dx, t))，有如下表达式：
[A(dx, t) = 8\pi \sum_{j = 1}^{m} \delta_{x_j(t)}(dx), \quad -\infty < t < 0]
该弱解 (A(dx, t) \in C^*(-\infty, +\infty; M(R^2))) 的支撑集 ({x_j(t)}) 可由局部二阶矩追踪。

定理 12.26

• 当 (m = 1) 时，在上述表达式中 (A(dx, t) = 8\pi\delta_0(dx))，(-\infty < t < 0)。
• 当 (m \geq 2) 时，在经典意义下有：
  [\frac{dx_j}{dt} = 8\pi\nabla_{x_i}H_m(x_1, \cdots, x_m), \quad -\infty < t < 0, 1 \leq j \leq m]
  其中 (H_m(x_1, \cdots, x_m) = \sum_{1\leq i<j\leq m} \Gamma(x_i - x_j))，(\Gamma(x) = \frac{1}{2\pi} \log \frac{1}{2\pi})。这种在弱缩放极限上对哈密顿量的控制模式被称为递归层次结构。

无限时间爆破的质量量化证明

为证