25、简单多边形中近似最小 k 包围测地圆盘的算法研究

简单多边形中近似最小 k 包围测地圆盘的算法研究

在计算几何领域，寻找简单多边形中最小 k 包围测地圆盘（2 - SKEG 圆盘）是一个具有重要意义的问题。本文将详细介绍相关算法，包括 DI - Algo、Main - Algo 以及合并步骤的具体实现，旨在为解决此类问题提供有效的方法。

1. 预处理步骤

在执行主要算法之前，需要进行一系列的预处理操作，这些操作的总时间复杂度为 (O(n \log r + m))，空间复杂度为 (O(n + m))。具体步骤如下：
1. 简化与最短路径数据结构 ：这部分内容可参考相关资料进行操作。
2. 平衡层次多边形分解 ：
- 计算一个平衡的层次多边形分解树 (T_B)。
- 在所有面都变为三角形之前，通过多边形面 (f) 的对角线将其分割成两个子多边形，子多边形的顶点数在 (\frac{|f|}{3}) 到 (\frac{2|f|}{3}) 之间。
- 分解简化后的多边形，此过程时间复杂度为 (O(r))，空间复杂度为 (O(r))。最终得到一个基于多边形三角剖分的分解树，树的高度为 (O(\log r))，叶子节点存储三角形，内部节点存储三角剖分的对角线。
3. 构建点定位数据结构 ：
- 由于 (T_B) 的叶子节点代表多边形 (P) 三角剖分中的三角形，因此在这些三角形上构建 Kirkpatrick 的点定位数据结构。
- 该操作时间复杂度为 (O(r))，空间复杂度为 (O(r))，查询时间复杂度为 (O(\log r))。
4. 增