52、观察路线与外部守望路线研究

观察路线与外部守望路线研究

1. 引言

在计算几何和机器人领域，路径规划和可见性是两个核心研究方向。路径规划中，期望找到两点间无碰撞的最短路径，这就要求机器人能感知障碍物来避开它们，所以短路径和可见性密切相关。此外，对物体的可见性感知程度也有不同，有时只需检测到障碍物的存在，有时则需要识别整个障碍物边界来采取合适行动。

在旅行商问题（TSP）相关研究中，欧几里得旅行商问题（ETSP）是要找到经过平面或高维空间中给定点的最短回路。而带邻域的旅行商问题（TSPN）则将点替换为区域，要求回路经过每个区域至少一个点。由于 ETSP 在二维及以上空间是 NP 难问题，TSPN 同样如此。不过，ETSP 在常数维度下有多项式时间近似方案（PTAS），但 TSPN 更难近似，某些实例是 APX 难问题。不过，对于具有良好几何性质的邻域，如连通、两两不相交、肥胖或大小相近等情况，可以得到更好的近似结果。

守望路线问题（WRP）是在多边形区域内找到一条最短闭合曲线，使区域内每个点都能从曲线上某点看到。外部守望路线问题（EWRP）则是在多边形外部找到最短闭合曲线，使外部自由空间的每个点都能从曲线上某点看到。WRP 和 EWRP 互为对偶问题。

这里引入观察路线问题（ORP）：给定平面上 n 个两两不相交的紧凑区域，找到一条最短路线，使得沿着该路线行走的观察者能从路线上的某点看到每个区域的至少一个点，且路线不能进入任何区域的内部。

2. 相关问题定义与性质

• 简单曲线和多边形 ：无自相交的曲线称为简单曲线。没有孔洞的多边形是简单多边形，其内部拓扑等价于圆盘；从多边形中移除一组不重叠的严格内