24、近似简单多边形中最小 k 包围测地圆盘

近似简单多边形中最小 k 包围测地圆盘

1. 引言

在计算几何领域，最小包围圆盘问题是一个经典问题。它的输入是平面上的一组 n 个点，目标是返回包含这组点的最小欧几里得圆盘。该问题可以在 $O(n)$ 的期望时间和最坏情况下的 $O(n)$ 时间内解决。而最小 k 包围圆盘问题是其推广，它要求找到一个最小的圆盘，使得该圆盘至少包含给定集合 S 中的 k 个点。目前，推测在平面上精确计算最小 k 包围圆盘的算法需要 $\Omega(nk)$ 的时间。

本文将最小 k 包围圆盘问题推广到简单多边形中，使用测地度量。测地度量下，两点 a 和 b 之间的距离 $d_g(a, b)$ 是它们在简单多边形 P 内的最短路径 $\Pi(a, b)$ 的长度。以点 $c \in P$ 为中心、半径为 $\rho$ 的测地圆盘 $D(c, \rho)$ 是指多边形 P 中所有到点 c 的测地距离不超过 $\rho$ 的点的集合。

我们关注的核心问题是：给定一个由 m 个顶点定义的简单多边形 $P_{in}$，其中 r 个为反射顶点，以及包含在 $P_{in}$ 中的 n 个点的集合 S，找到一个最小半径的测地圆盘，使其至少包含 S 中的 k 个点，我们称这样的圆盘为 SKEG 圆盘。

在一般位置假设下，即 S 中没有两个点到 $P_{in}$ 的某个顶点的距离相等，且 S 中没有四个点是测地共圆的，SKEG 圆盘恰好包含 k 个点。设 $D(c^ , \rho^ )$ 为 $P_{in}$ 中 S 点的 SKEG 圆盘，为方便起见，有时我们简称为 $D^ $。包含恰好 k 个 S 点的测地圆盘称为 KEG 圆盘，半径不超过 $2\rho^