44、混合中心定位与受限灯光部署问题研究

混合中心定位与受限灯光部署问题研究

在现代计算几何和实际应用中，混合中心定位问题与受限灯光部署问题是两个具有重要意义的研究方向。下面将详细介绍这两个问题的相关算法和解决方案。

混合k - 中心问题

混合k - 中心问题是k中心定位问题的一种变体。对于该问题，我们有以下相关的算法和结论。

精确算法

首先，定义一些相关的概念。设$D(o, r)$是以$o$为中心、$r$为半径的圆盘，$S1CP$（标准最小包围圆盘问题）和$D1CP$（离散最小包围圆盘问题）是点集的相关问题。对于固定的$m$个点${p_1, p_2, …, p_m}$作为$M(k, m)CP$的中心，给定半径$r$，子集$P^T$由不在$D(p_1, r) ∪ D(p_2, r) ∪ … ∪ D(p_m, r)$中的元素组成，$r^T$是$P^T$的标准$(k - m)$ - 中心问题解的半径。有引理1：若$r_1 > r_2$，则$r_1^T ≤ r_2^T$。

$M(k, m)CP$的最优半径要么是点集$P$中两点之间的距离，要么是$P$的某个子集的最小包围圆盘的半径。我们检查所有可能的距离，并将$P$中所有$m$个可能的点作为中心。对于每个可能的组合和半径$r$，我们得到圆盘$D(p_i, r)$并计算$P^T$。通过对算法进行一些修改，采用二分查找来减少$r$的值，修改后算法的复杂度为$O(n^m + O(\sqrt{k - m}))$时间。具体算法如下：

Algorithm 3. Exact algorithm for the mixed k - center proble