34、趋化性方程的数学性质与爆破机制

趋化性方程的数学性质与爆破机制

1. 趋化性基本概念与相关方程

1.1 密度与总质量

在趋化性问题中，涉及到两个重要的量：密度 $\rho(x, t)$ 和总质量 $\lambda$。它们的定义如下：
- 密度：$\rho(x, t) = \int f(x, v, t)dv$
- 总质量：$\lambda = \int \rho(x, t)dx$

1.2 绝热极限方程

当考虑绝热极限 $\beta \to +\infty$ 时，方程形式为 $\rho_t = \nabla \cdot (\rho \nabla U) + \nabla \cdot (\rho \nabla V) + \Delta \rho$。若 $V = 0$ 且将核 $\Gamma(x, x’)$ 替换为 $G(x, x’)$，则该方程成为趋化性的简化系统。半导体器件方程则可通过取核 $G(x, x’)$ 的相反符号得到。

1.3 稳态方程

此方程的稳态是一个具有指数非线性的椭圆问题，而局部密度 $\rho$ 遵循梯度流。这种方程层次结构是由自由能减少所诱导的，其数学特征表现为具有量化爆破机制的递归层次结构。同时，稳态存在一种由变分结构描述的对偶性，我们称之为对偶变分。场泛函和粒子密度之间的这种对偶性在动力学层面也成立，在粒子密度和场势中描述的稳态解在莫尔斯指标的意义下是等价的。

2. 斯莫卢霍夫斯基 - 泊松方程

2.1 趋化性简化系统

趋化性简化系统的方程为：
[
\begin{cases}
u_t = \nabla \c