33、非线性偏微分方程中的重标度与趋化性研究

非线性偏微分方程中的重标度与趋化性研究

1. 重标度相关内容

1.1 问题引入与初步分析

考虑如下方程：
[
\begin{cases}
-\Delta u = u^p, & 0 \leq u \leq u(0) = 1 \text{ in } \mathbb{R}^n_+ \
u| {\partial\mathbb{R}^n +} = 0
\end{cases}
]
其中(\mathbb{R}^n_+)是一个半空间，其边界(\partial\mathbb{R}^n_+)包含原点作为内点。根据之前段落末尾描述的上述问题解的存在性相关性质，这种性质是不可能的。

1.2 正向自相似变换

Escobedo和Kavian通过缩放不变性（12.74）检测到Fujita指数(p_f)。具体步骤如下：
1. 令(\mu = t^{-\frac{1}{2}})，得到(u(y, 1) = t^{\frac{1}{p - 1}}u_{\mu}(x, t))，(y = xt^{-\frac{1}{2}})。
2. 采用类似取（12.77）的思路，在（12.57）中以(s = \log t)进行正向自相似变换。
3. 对(t)进行变换(t \to t + 1)，得到(v(y, s) = (t + 1)^{\frac{1}{p - 1}}u(x, t))，(y = x/(t + 1)^{\frac{1}{2}})，(s = \log(t + 1))。
4. 此变换意味着(v_s - \Delta v - \frac{y}{2} \cdot