39、偏微分方程相关理论与应用

偏微分方程相关理论与应用

1. 椭圆方程

1.1 特征函数与特征值

在对称域上寻求特征函数的变量分离有多种情况。对于满足特定条件的(p)，有(\phi_{n1}^ (x) = \sin n_1\pi x)，且(f_1 = f_1(x))是(p(x) = 0)和(\mu = \mu_1)时某方程的解。满足(\lambda_{n}^ (p) = (n\pi)^2)（除有限个(n \in N^*)外）的(p)是形如(p = -2\frac{d^2}{dx^2} \log \tau)的初等函数，其中(\tau = \tau(x))由与Gel’fand - Levitan - Marchenko（GLM）方程相关的Fredholm行列式表示。在Robin条件下的对称问题(-\phi’’ + p(x)\phi = \lambda\phi)，(0 \leq x \leq 1)，(-\phi’ + h\phi| {x = 0} = \phi’ + h\phi| {x = 1} = 0)中，((p, h) \in C_{s}^1 \times R)会同时变化。

1.2 边界值问题

对于边界值问题(\Delta v = 0)在(\Omega)内，(\frac{\partial v}{\partial \nu}| {\partial\Omega} = g \in C(\partial\Omega))，若(\int {\partial\Omega} g ds = 0)，则该问题在相差一个加法常数的意义下有唯一解。解可表示为(v = P\mu)，其中(P)是单层势，(\mu \in C(\partial\Omeg