线性筛生成质数的超详细理解

一，前言

目前求质数的方法多种多样，下面就介绍两种方法求质数。

二，线性筛法生成质数

筛法生成小于或等于n的质数的原理就是，将0到n的所有自然数都存放进一个数组里面。然后从2开始循环直到n，循环到i时，就把i的所有倍数（小于或等于n）都从这个数组里面移除，最后剩下的就是小于或者等于n的质数。

但是这种方法有一定的缺陷，就是假设 i 和 j 都是max的因数，那么无论是循环到i还是j，程序都会将max从数组中抹去，这样就重复计算了。为了消除这种不必要的计算，我们可以选用线性筛法来提高速度。

线性筛法生成质数的原理如下（结合下面的代码来理解可以更顺畅）：

整个事件简单来说就是，从2到n按顺序依次抽出一个数（设为i），然后找出所有的i*m，把i*m从数组里面筛掉（因为它是合数），其中，m的取值是不小于2且不大于“i的最小质因数”的全体质数。那么数组中剩下的就全是质数了。这就是实现每个合数都只被划去一次（被它们的最小质因数筛掉）的过程。详细代码解说如下：

若要生成小于或者等于n的所有质数，则设置两个数组is_prime和prime，它们的大小均为n+1。将数组is_prime中的所有元素均初始化为0。is_prime[i]等于0时，代表i是质数；当is_prime[i]等于1时，代表i是合数。prime[i]从2到n的第i+1个质数。再设置一个下标now，它代表当程序运行到当前状态时，prime[now-1]是prime数组中的最后一个质数。

然后循环变量i，从2到n。当循环到h时，如果h是质数，那么就将h加入prime数组中，并将下标now的值加一，然后向下继续执行。如果h是合数，那就直接向下执行。

这时候，循环j，从0到now-1，而prime[now-1]*h必定是一个合数，仅当它小于或等于n时，循环j继续。如果说，prime[j]是h的因数，那么将prime[j]*h从数组里面删掉，然后退出循环。这是因为如果prime[j]是h的因数的话，那么prime[j]*h的最小