线性筛生成质数的超详细理解

最新推荐文章于 2025-02-13 10:51:28 发布

fly_view

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一，前言

目前求质数的方法多种多样，下面就介绍两种方法求质数。

二，线性筛法生成质数

筛法生成小于或等于n的质数的原理就是，将0到n的所有自然数都存放进一个数组里面。然后从2开始循环直到n，循环到i时，就把i的所有倍数（小于或等于n）都从这个数组里面移除，最后剩下的就是小于或者等于n的质数。

但是这种方法有一定的缺陷，就是假设 i 和 j 都是max的因数，那么无论是循环到i还是j，程序都会将max从数组中抹去，这样就重复计算了。为了消除这种不必要的计算，我们可以选用线性筛法来提高速度。

线性筛法生成质数的原理如下（结合下面的代码来理解可以更顺畅）：

整个事件简单来说就是，从2到n按顺序依次抽出一个数（设为i），然后找出所有的i*m，把i*m从数组里面筛掉（因为它是合数），其中，m的取值是不小于2且不大于“i的最小质因数”的全体质数。那么数组中剩下的就全是质数了。这就是实现每个合数都只被划去一次（被它们的最小质因数筛掉）的过程。详细代码解说如下：

若要生成小于或者等于n的所有质数，则设置两个数组is_prime和prime，它们的大小均为n+1。将数组is_prime中的所有元素均初始化为0。is_prime[i]等于0时，代表i是质数；当is_prime[i]等于1时，代表i是合数。prime[i]从2到n的第i+1个质数。再设置一个下标now，它代表当程序运行到当前状态时，prime[now-1]是prime数组中的最后一个质数。

然后循环变量i，从2到n。当循环到h时，如果h是质数，那么就将h加入prime数组中，并将下标now的值加一，然后向下继续执行。如果h是合数，那就直接向下执行。

这时候，循环j，从0到now-1，而prime[now-1]*h必定是一个合数，仅当它小于或等于n时，循环j继续。如果说，prime[j]是h的因数，那么将prime[j]*h从数组里面删掉，然后退出循环。这是因为如果prime[j]是h的因数的话，那么prime[j]*h的最小质因数只能是prime[j]，我们的目标是，用每一个合数的最小质因数来删除这个合数，这样就能保证，每个合数都只被删除一次。

具体代码如下：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<time.h> 
using namespace std;
void filter_prime(int max)//线性筛生成小于或等于max的所有 质数 
{
	int* is_prime ;//is_prime[i]若是等于0，就说明i是质数；is_prime[i]若是等于1，就说明i是合数 
	is_prime = new int[max+1];
	 //is_prime[2] = true;
	int* prime;//prime[i]代表从2开始到max之间的第i+1个质数 （包括2和max）
	prime = new int[max+1];
	int i,j,now=0;//now代表当前状态下prime数组最后一个质数的下标 
	for(i=1;i<max+1;i++)
		is_prime[i] = 0;//初始化is_prime数组 
	//memset(is_prime,0,sizeof(is_prime));
	for(i=2;i<max+1;i++)
	{
		if(is_prime[i] == 0)//如果i是质数 
		prime[now++] = i;
		//以上两条语句是肯定正确的，不会出现当i是合数但is_prime[i]未修改为1的情况。理由就是：当i是质数时，该语句成立,
		//所以只需讨论i是合数的情况。设i是合数， 那么程序运行到此处时，is_prime[i]一定被修改成了1。
		//证明：令i = n*m,其中n是i的最小质因数。当m也是质数时，那么在程序运行到i==m时，程序会将所有的is_prime[p*m]都修改为1。
		//其中p的值为从2取到m的质数（包含了n）。 当m是由一堆质数相乘得到的时（就是说它是一个合数）,由于n是i的最小质因数，
		//所以m的所有质因数都大于n，这也说明了当程序运行至i==m时，会将所有的is_prime[p*m]都修改为1，p的取值是从2到n的所有质数。 
		for(j=0;  j<now && i*prime[j]<=max;  j++)
		{
			is_prime[ i*prime[j] ] = 1;
			if(i % prime[j] == 0)break;
		}
	}
	//统计并输出所有小于或者等于max 的所有质数: 
	cout<<"小于或等于"<< max <<"的质数共有"<<now<<"个,具体如下:"<<endl; 
	/*for(i=0;i<now;i++)
	cout<<prime[i]<<",";
	cout<<endl;*/
	//您可以去掉上面这条注释，这样的话，程序就可以输出筛选出来的所有质数了。 
}
int main()
{
	int max=0;
	
	cin>>max;
	
	clock_t begin = clock();
	filter_prime(max);
	clock_t end = clock();
	
	//cout<<"3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,83,89,93,97"<<endl; 
	cout<<"线性筛总共耗时"<<end-begin<<"毫秒"<<endl; 
	return 0;
}

下面就是数据规模为1亿的时候程序运行的结果：