bzoj4816/sdoi 2017 数字表格（莫比乌斯函数

最新推荐文章于 2022-01-25 10:41:35 发布

原创最新推荐文章于 2022-01-25 10:41:35 发布 · 245 阅读

1 ·

CC 4.0 BY-SA版权

BZOJ 同时被 2 个专栏收录

18 篇文章

订阅专栏

莫比乌斯反演

6 篇文章

订阅专栏

本文探讨了一个涉及Fibonacci数列和乘法原理的复杂组合问题，通过枚举和数学变换，将问题简化为求特定形式的乘积，最终提出了一种高效的算法解决方案。

在这里插入图片描述

分析

记 $f (i)$ 为 $F i b o n a c c i$ 数列的第 $i$ 项
题目本质上要求
$\prod\limits_{i=1}^{n}\prod\limits_{j=1}^{m}f(gcd(i,j))$
枚举 $d = g c d (i, j)$
$\prod\limits_{d=1}^{n}f(d)^{\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}[gcd(i,j)==d]}$
对于右上角那部分，老生常谈了。
化简后要求的即是
$\prod\limits_{d=1}^{n}f(d)^{\sum\limits_{x=1}^{{\tiny \left\lfloor\dfrac{n}{d}\right\rfloor}}\mu(x){{\tiny\left\lfloor\dfrac{n}{dx}\right\rfloor}}{{\tiny\left\lfloor\dfrac{m}{dx}\right\rfloor}}}$
然后套路枚举 $d$ 与 $x$ 的乘积
$\prod\limits_{T=1}^{n}\prod\limits_{d|T}f(d)^{\mu({\tiny\dfrac{T}{d}}){{\tiny\left\lfloor\dfrac{m}{T}\right\rfloor}}{{\tiny\left\lfloor\dfrac{m}{T}\right\rfloor}}}$
预处理 $\prod\limits_{d|T}f(d)^{\mu({\tiny\dfrac{T}{d}})}$ 及其前缀积即可。每次询问分块+快速幂即可。
特别一提的是，当 $μ\mu$ 为 $- 1$ 时，乘上的应是 $f (d)$ 的逆元。

代码如下

#include <bits/stdc++.h>
#define mod 1000000007
#define N 1000007
#define LL long long 
using namespace std;

LL z = 1;
int f[N], mu[N], x[N], p[N], g[N], s[N], inv[N], cnt, maxn = N - 7;
LL t; 
int ksm(int a, int b, int p){
	int s = 1;
	while(b){
		if(b & 1) s = z * s * a % mod;
		a = z * a * a % mod;
		b >>= 1;
	}
	return s;
}
int main(){
	int i, j, n, m, T, l, r, ji, ans;
	inv[1] = 1;
	for(i = 2; i <= maxn; i++){
		inv[i] = z * (mod - mod / i) * inv[mod % i] % mod;
	}
	mu[1] = 1;
	for(i = 2; i <= maxn; i++){
		if(!x[i]) x[i] = i,p[++cnt] = i, mu[i] = -1;
		for(j = 1; j <= cnt; j++){
			t = z * i * p[j];
			if(t > maxn) break;
			x[t] = p[j];
			if(i % p[j] == 0) break;
			mu[t] = -mu[i];
		}
	}
	f[1] = 1; 
	for(i = 2; i <= maxn; i++) f[i] = (f[i - 1] + f[i - 2]) % mod;
	for(i = 0; i <= maxn; i++) g[i] = 1;
	for(i = 1; i <= maxn; i++){
		for(j = 1; z * i * j <= maxn; j++){
			if(mu[j] == -1) g[i * j] = z * g[i * j] * ksm(f[i], mod - 2, mod) % mod;
			if(mu[j] == 1) g[i * j] = z * g[i * j] *  f[i] % mod;
		}
	}
	s[0] = 1;
	for(i = 1; i <= maxn; i++) s[i] = z * s[i - 1] * g[i] % mod;
	scanf("%d", &T);
	while(T--){
		ans = 1;
		scanf("%d%d", &n, &m);
		if(n > m) swap(n, m);
		for(l = 1; l <= n; l = r + 1){
			r = min(n / (n / l), m / (m / l));
			ji = z * s[r] * ksm(s[l - 1], mod - 2, mod) % mod;
			ji =ksm(ji, n / l, mod);
			ji = ksm(ji, m / l, mod);
			ans = z * ans * ji % mod;
		}
		printf("%d\n", ans);
	}
	return 0;
}