bzoj 4475/jsoi 2015 子集选取

Description

Input

输入包含一行两个整数N和K，1<=N,K<=10^9

Output

一行一个整数，表示不同方案数目模1,000,000,007的值。

Sample Input

2 2

Sample Output

16

我好菜啊。。。看 $will$ 老师讲解，我的思维过程：我先看看自己能不能想出来把，算了算了听讲，woc牛逼！暂停一会接下来的我应该可以自己想出来了，算了算了再听一会，woc牛逼！得出结论：我是真的菜。。。

分析

这题真是一道思维题啊！首先看数据范围，数据范围这么大，应该是道结论题。
我们先用二进制模拟一下过程，不难发现(我真没发现TAT，一个集合 $S1$ 是另一个集合 $S2$ 的子集，必须满足这个集合的每一位都小于等于 $S2$ 中每一位的数，而每一位都是独立的。于是我们可以考虑 $n=1$ 的情况，最后 $ans=an{s}^n$ 即可。
考虑 $n=1$ 的情况。
有一点可以很容易注意到（没错我只注意到这个，就是每一行从左往右的每个数是大于等于下一个数的，每一列也是。如图是一种方案：

然后我们把 $0/1$ 分界线画一下，斜线是终点。

不难发现，每一种合法方案与每一种分界线一一对应，我们只要统计分界线的方案数就行了。一种分界线，相当于从最底下一直走到斜线停止，总共要走 $k$ 步，设向右走了 $i$ 步那么总的方案数就是
$\sum _{i=0}^k{C}_k^i=2^k$，于是最终 $ans=2^{kn}$，快速幂即可。

总结，思想就是等价转换，感觉有点难学会TAT

代码如下

#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define mod 1000000007
using namespace std;
LL z = 1;
int ksm(int a, int b, int p){
	int s = 1;
	while(b){
		if(b & 1) s = z * s * a % p;
		a = z * a * a % p;
		b >>= 1;
	}
	return s;
}
int main(){
	int i, j, n, k;
	scanf("%d%d", &n, &k);
	printf("%d", z * ksm(ksm(2, k, mod), n, mod));
	return 0;
}