10、最小权重传感器覆盖问题的近似算法与PTAS

最小权重传感器覆盖问题的近似算法与PTAS

1. 问题引入

在传感器覆盖问题中，目标是找到一组传感器，以最小的权重覆盖给定的目标点集合。对于在一个块区域内的最小权重传感器覆盖问题，前人提出了多种近似算法，逐步提高了算法的性能。

2. 3.63 - 近似算法

2.1 多带最小权重传感器覆盖子问题

考虑在一个块 $B$ 中有 $\ell$ 条平行的水平带 $H_1, \cdots, H_{\ell}$，带宽为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$。每个带的上边界为开放边界，下边界为封闭边界。给定 $n$ 个传感器的集合 $S$ 以及一个正的权重函数 $c : D \to R^+$，还有位于 $H_1 \cup H_3 \cup \cdots \cup H_{2\lceil\ell/2\rceil - 1}$ 中的 $m$ 个目标点集合 $A$，要找到 $A$ 的最小权重传感器覆盖，使得带 $H_i$ 中的每个目标都由位于 $H_i$ 外部的传感器覆盖。

2.2 问题转化为最短路径问题

• 定义上下盘和上下包络 ：对于奇数 $i$（$1 \leq i \leq \ell$）的带 $H_i$，若传感器 $s \in Opt$ 位于 $H_i$ 上方，则 $disk(s)$ 称为关于 $H_i$ 的上盘；类似地定义下盘。所有关于 $H_i$ 的上盘形成 $H_i$ 的上区域，其边界称为 $H_i$ 的上包络；同理定义下区域和下包络。
• 引理 ：关于 $H_i$ 的上盘 $disk(s)$ 在上包络中最多出现一