38、优化问题近似算法综合解析

优化问题近似算法综合解析

在优化问题的研究领域，近似算法是解决复杂问题的重要手段。本文将深入探讨最大运输问题和受限分配模型调度问题的近似算法，涵盖局部搜索算法、最大容量星型打包问题以及全范数近似算法等多个方面。

最大运输问题的近似算法

• 局部搜索算法
  • t - 移动定义 ：从近似解中选取一个中心 $s_a^i$，移除其星型结构，将中心放置在 $V_1$ 中的某个顶点 $v_1$。若 $v_1$ 是近似解的中心，则移除其星型结构，并将原本位于 $v_1$ 的中心移动到另一个顶点 $v_2$，重复此过程最多 $t$ 次，直至将位于 $v_{t’}$ 的中心放置到一个顶点 $v_{t’+1}$（$t’ \leq t$），该顶点要么不是近似解中的中心，要么忽略其中心位置且不进行替换。
  • t - 搜索算法 ：从一个可行解开始，检查是否可以通过 $t$ - 移动增加解的权重，重复此操作直到无法进一步改进。定理表明，$t$ - 搜索算法是一个 $t/(1 + 2t)$ 近似算法，通过增加 $t$ 可以使近似因子任意接近 $1/2$，并且该算法可以在多项式时间内执行。
• MTPPSV 问题
  • 问题转化 ：该问题可以通过将 $V_2$ 中的每个顶点 $i$ 复制 $b_i$ 次，转化为二分图中的最大容量星型打包问题，但这种方法只能得到伪多项式时间算法。