14、数值积分方法及 MATLAB 实现

数值积分方法及 MATLAB 实现

1. 引言

在数值计算领域，积分是一个重要的运算。本文将介绍两种常见的积分方法：辛普森法则（Simpson’s rule）和 MATLAB 的 integral 函数，同时也会涉及到 MATLAB 的 integral2 函数用于二重积分的计算。理解辛普森法则的概念有助于更好地运用 MATLAB 的积分函数来计算定积分。

2. 数值积分与辛普森法则

2.1 辛普森法则原理

辛普森法则可用于计算单变量的定积分。在使用辛普森法则计算 $\int_{A}^{B} f(x) dx$ 时，首先要将 $x$ 定义域划分为 $N$ 个区间（$N$ 为偶数），得到 $x_1, x_2, \cdots, x_{N + 1}$。然后确定这些 $x_n$ 位置的函数值 $f_1, f_2, \cdots, f_{N + 1}$。接着用二次多项式（抛物线）连接曲线 $f(x)$ 上的三个点，并将这些抛物线下方的面积相加，以此来近似曲线下方的面积。辛普森法则计算积分的最终公式为：
$I = \int_{A}^{B} f(x) dx = \frac{\Delta x}{3} [f_1 + 4f_2 + 2f_3 + 4f_4 + 2f_5 + \cdots + 4f_N + f_{N + 1}]$

2.2 示例 9.1：使用辛普森法则求解积分

求解积分 $I = \int_{0}^{10} (x^3 + 3.2x^2 - 3.4x + 20.2) dx$，以下是实现该计算的 MATLAB 代码：

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