15、MATLAB在常微分方程数值积分中的应用

MATLAB在常微分方程数值积分中的应用

1. 常微分方程概述

常微分方程（ODE）在许多物理现象的数学建模中起着关键作用。很多方程都基于牛顿第二运动定律，例如描述自由落体球运动、质量 - 弹簧 - 阻尼器系统中质量的运动、篮球的速度和位置等方程。而并联RLC电路中的电压则源于多个电学定律，包括基尔霍夫电流定律。

常微分方程可分为两类：
- 初始值问题 ：变量的初始条件已知。例如发射具有已知初始位置和速度的火箭，或者在(t = 0)时电路节点电压（或其斜率）的值。本文将重点介绍使用MATLAB的 ode45 函数解决这类问题。
- 边值问题 ：在问题几何中的特定坐标处已知变量条件。例如，已知杆两端的温度时确定杆上各位置的温度，或已知梁两端的挠度时确定梁沿其长度的挠度。

2. MATLAB的 ode45 函数

MATLAB有多个内置的ODE函数来求解一阶常微分方程组，其中 ode45 函数基于四阶和五阶龙格 - 库塔方法。其语法为：

[TOUT, YOUT] = ODE45(ODEFUN, TSPAN, Y0)

• ODEFUN ：描述微分方程组的函数句柄。
• TSPAN ：描述微分方程组所覆盖时间间隔的向量，通常是包含起始和结束时间的二元向量。