8、无线传感器网络覆盖与连通性问题的算法研究

无线传感器网络覆盖与连通性问题的算法研究

1. 覆盖生命周期相关问题

在覆盖生命周期的研究中，有一个重要的不等式关系：$\sum_{p\in C} x_p / \tau \leq (1 + \varepsilon)\rho$。为了证明原始 - 对偶算法 B 能在多项式时间内运行，我们假设 $p^*$ 是最小权重连通传感器覆盖问题的多项式时间 $\rho$ - 近似解。由于每次迭代都能在多项式时间内完成，所以只需证明迭代次数有多项式上界即可。

在每次迭代中，至少有一个 $y_s$ 的值会增加。在引理 5.4.4 的证明中已经表明，在算法 B 结束时，每个 $y_s$ 的值最多乘以 $(1 + \theta)\rho/(v\delta)$ 后增加。因此，迭代次数最多为：
[
\frac{|S|\ln((1 + \theta)\rho) - \ln(v\delta)}{\ln(1 + \theta v/u)} = O(|S| \log |S|)
]
其中 $-\ln(v\delta) = O(\ln |S|)$，并且当 $\varepsilon$ 固定时，$\theta$ 也是固定的。

2. 加权连通传感器覆盖问题

2.1 节点加权斯坦纳树问题

节点加权斯坦纳树问题是这样描述的：给定一个连通图 $G = (V, E)$，节点具有非负权重 $w : V \to R$，以及一个节点子集 $P \subseteq V$，需要找到一棵树 $T$ 连接 $P$ 中的节点，以最小化斯坦纳节点的总权重。这里，$P$ 中的节点称为终端节点，$T$ 中不在 $P$ 中的节点称为斯坦纳节点。

在一般