16、MATLAB在常微分方程边值问题及相关领域的应用

MATLAB在常微分方程边值问题及相关领域的应用

1. 常微分方程边值问题概述

当常微分方程涉及边界条件而非初始条件时，通常采用数值方法来求解问题。边值问题需要使解符合已知的边界条件，而非仅仅从初始条件进行积分。常见的边值问题例子包括：
- 一根两端温度已知且通过自然对流向周围散热的棒的温度分布。
- 一根受沿线载荷作用且两端边界条件已知的梁的挠度。
- 已知极板间电荷密度和极板间固定电压的电容器极板间的电场确定。

在这些例子中，通常使用有限差分方法对二阶非齐次常微分方程进行数值求解。

2. 有限差分公式

为了数值求解涉及常微分、线性微分方程的边值问题，需要使用通过泰勒级数展开得到的差分公式。有限差分方法首先将自变量域划分为N个子区间。常用的有限差分公式如下表所示：
| 公式类型 | 公式 | 说明 |
| ---- | ---- | ---- |
| 一阶向前差分公式 | (y’ i=\frac{y {i + 1}-y_i}{\Delta x}) | 通常用于域开始处的 (y’) 边界条件 |
| 一阶向后差分公式 | (y’ i=\frac{y_i - y {i - 1}}{\Delta x}) | 通常用于域结束处的 (y’) 边界条件 |
| 二阶中心差分公式 | (y’‘ i=\frac{y {i + 1}+y_{i - 1}-2y_i}{\Delta x^2}) | 用于域内部二阶导数的计算 |

3. 示例：棒的温度分布问题

考虑一根具有圆形横截面的棒，两端