17、扫描覆盖问题：概念、算法与变体探析

扫描覆盖问题：概念、算法与变体探析

1. 动机与概述

在以往的覆盖问题中，目标或区域通常需要被持续监控。然而，在许多诸如巡逻的应用场景里，目标点只需以一定频率被监控即可。例如，在森林中分布着一组静态传感器用于监测生态环境，这些静态传感器收集的信息由一组移动传感器每隔三小时至少收集一次。由此引出了两个关键问题：完成此任务所需的最少移动传感器数量是多少，以及如何为这些移动传感器设计轨迹。

基于这些考量，提出了扫描覆盖的相关定义和问题：
- 扫描覆盖定义 ：在度量空间中有一组目标点，每个目标点 (u) 需在时间周期 (t_u)（即 (u) 的扫描周期）内至少被监控一次。若一组移动传感器能在规定时间内对所有目标点进行监控，则称其为扫描覆盖。这里，目标点被移动传感器监控的条件是移动传感器移动到该目标点的位置。
- 最小传感器扫描覆盖问题 ：寻找使用最少移动传感器的扫描覆盖方案。
- 最小扫描周期扫描覆盖问题 ：给定 (m) 个移动传感器，为这些传感器设计轨迹以形成扫描覆盖，使得目标点的最大扫描周期最小。

扫描覆盖问题最初在机器人巡逻背景下被研究，如今在无线传感器网络领域得到广泛关注，在数据采集、移动充电器路由等方面有诸多应用。现有的性能有保证的算法大多以旅行商问题（TSP）为基础。在所有移动传感器速度相同为 (v) 的假设下，Gorain 和 Mandal 为所有目标点扫描周期相同为 (t) 的最小传感器扫描覆盖问题提出了一个 3 - 近似算法，Gao 等人则为最小扫描周期扫描覆盖问题提出了一个 4 - 近似算法。

2. 复杂