14、无线传感器网络覆盖问题研究

无线传感器网络覆盖问题研究

1. 最小权重磁盘多覆盖问题

1.1 基本概念与构造

首先定义了一系列磁盘集合 (R_{\ell}, R_{\ell - 1}, \ldots, R_0) 和 (A_{\ell}, A_{\ell - 1}, \ldots, A_1)。对于 (i = \ell, \ell - 1, \ldots, 1)，(R_{i - 1}) 是 (R_i) 的 ((\frac{1}{2} + \sqrt{\frac{c \log 2^i}{2^i}})) - 样本，(A_i) 是 (R_i) 的准 (\frac{1}{(2^i)^{\theta(c)}}) - 样本。令 (R = R_0 \cup (\bigcup_{i = 1}^{\ell} A_i))。

1.2 相关命题证明

• 命题 1：(R) 是 (D) 的 (\varepsilon) - 网
  要证明该命题，需表明 (R) 覆盖所有深度至少为 (k) 的点。对于任意索引 (i = \ell, \ell - 1, \ldots, 1) 以及任意深度 (depth_p(R_i) \geq 2^i) 的点 (p)，根据引理 8.3.14，要么 (depth_p(R_{i - 1}) \geq 2^{i - 1})，要么 (p) 被 (A_i) 覆盖。对于深度 (depth_p(D) \geq k = 2^{\ell}) 的任意点 (p)，经过 (\ell) 轮后，要么 (depth_p(R_0) \geq 1)（意味着 (p) 被 (R_0) 覆盖），要么 (p) 被 (\bigcup_{i = 1}^{\ell} A_i) 中