5、区域可控性：Riemann - Liouville型与Caputo型时间分数阶扩散系统

区域可控性：Riemann - Liouville型与Caputo型时间分数阶扩散系统

1. 区域可控性概述

在实际系统控制中，让系统以最小成本、符合安全和道德规范的方式按我们的期望运行是目标。但很多时候，控制所有状态成本过高，且并非所有状态都能达到，这时就需要考虑区域可控性。区域可控性意味着系统仅在整个空间的一个子集上能实现精确或近似控制。

在时间区间 $[0, b]$ 内，我们关注Riemann - Liouville型和Caputo型时间分数阶扩散系统的区域可控性、区域梯度可控性和区域边界可控性。这是为了找到一种控制方法，使系统在时间 $b$ 时达到系统域内给定子区域上的规定状态。同时，有两个初步问题需要考虑：
- 要使用多少执行器以及如何配置它们，才能让系统按期望运行？
- 如果有多种控制方法能使系统在给定区域 $\omega$ 达到期望状态，是否能找到最小能量成本的方法？若能，它与 $\omega$ 和控制位置有何关系？

2. Riemann - Liouville型时间分数阶扩散系统

2.1 问题陈述

设 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的一个具有光滑边界 $\partial\Omega$ 的有界开子集，考虑如下抽象时间分数阶扩散系统：
[
\begin{cases}
{ 0}D_t^\alpha z(t) + Az(t) = Bu(t), & t \in [0, b], 0 < \alpha < 1 \
\lim {t \to 0^+} { 0}I_t^{1 - \alpha} z(t)