12、时间分数阶扩散系统的区域边界可观测性研究

时间分数阶扩散系统的区域边界可观测性研究

1. 引言

在许多实际应用的驱动下，对Riemann–Liouville型和Caputo型时间分数阶扩散系统的区域可观测性、梯度可观测性和边界可观测性问题的研究具有重要意义。本文将聚焦于区域边界可观测性，对这两种类型的时间分数阶扩散过程进行深入探讨。

2. 区域边界可观测性问题设定

设$\Omega$是$\mathbb{R}^n$的一个具有连续边界$\partial\Omega$的开子集，$\partial\Omega$的一个子区域$\Gamma$（可能不连通），同时考虑各种类型的传感器（区域型、点型、内部型或边界型）。接下来分别研究Riemann–Liouville型和Caputo型时间分数阶扩散系统的区域边界可观测性。

3. Riemann–Liouville型时间分数阶扩散系统

3.1 问题陈述

考虑如下系统：
[
\begin{cases}
{ 0}D_t^{\alpha}y(t) + Ay(t) = 0, & t \in [0, b], 0 < \alpha \leq 1 \
\lim {t \to 0^+} { 0}I^{1 - \alpha}_t y(t) = y_0 \in H^1(\Omega) \text{（未知）}
\end{cases}
]
其中$A$是一个一致椭圆算子，$-A$在希尔伯特空间$H^1(\Omega)$上生成一个强连续半群${\Phi(t)} {t \geq 0}$，且$y \in L^2(0, b;