28、计算分数阶微积分与经典微积分AI在复杂系统范式可微性预测分析中的比较

计算分数阶微积分与经典微积分AI在复杂系统范式可微性预测分析中的比较

1. 引言

现代科学能够通过成功的模型来解释自然和物理现象，分析复杂系统，并控制相关的变化过程。为了实现对这些现象的稳健、准确和可靠的理解，数学框架提供了必要的元素。分数阶微分和积分方程通过扩展对各种现象的概念，推广了传统的积分和微分方程。“分数”这一术语涵盖了所有非整数，包括无理数、复数和分数，它为我们理解自然现象提供了“分数视角”，并通过“分数思维”为所考虑的问题提供可行的解决方案。

对于具有复杂动力学的系统，为了进行准确的预测和实际计算，需要将其复杂行为简化为较少的变量。基于数据驱动的方法在复杂动力系统的建模和预测中得到了广泛应用，涉及时空动力学、纳米尺度流动动力学、非线性波、生命科学和健康等多个领域。在这些应用领域中，数据驱动的探索用于发现构成关系和微分方程。观察数据与观测条件之间的依赖关系是了解复杂动力学的主要知识来源，为了基于测量数据预测动力学，需要分析数据依赖关系。

分数阶微积分（FC）是一门快速发展的数学学科，涉及任意复阶或实阶的导数和积分，其应用领域广泛，包括计算机科学、应用科学、医学、物理、生物、生态、电学、力学、信号和图像处理、控制理论等。分数阶微积分提供了解决积分、微分和积分 - 微分方程的重要手段和可行方法。分数阶微积分（FOC）作为数学的一部分，处理任意阶的导数和积分。由于其复杂的特性，FOC能够在不同领域相对准确地表示自然行为，如生物工程、控制理论、信号处理、粘弹性、电子学和机器人学等。

线性整数阶微分方程的解析结果通常由指数函数的组合表示，而线性分数阶微分方程的解析结果则由具有幂律渐近行为的Mittag - Leffler函数表示。因此，线性分数阶微分方程的结