9、时间分数阶扩散过程的区域控制与观测分析

时间分数阶扩散过程的区域控制与观测分析

在实际应用中，时间分数阶扩散系统的区域控制与观测问题具有重要意义。下面将详细探讨区域边界可控性、区域可观测性等相关内容。

1. 区域边界可控性

区域边界可控性研究的是如何通过控制使得系统在特定区域边界达到预期状态。这里主要讨论Caputo型时间分数阶扩散系统。

1.1 问题描述

考虑如下抽象时间分数阶扩散系统：
[
\begin{cases}
^C_0D^\alpha_t z(t) + Az(t) = Bu(t), t \in [0, b] \
z(0) = z_0 \in D(A)
\end{cases}
]
其中，$^C_0D^\alpha_t$ 表示左侧Caputo分数阶导数，$A$ 是一致椭圆算子，$-A$ 在希尔伯特空间 $H^1(\Omega)$ 上生成强连续半群 ${\Phi(t)}_{t\geq0}$。$z \in L^2(0, b; H^1(\Omega))$，$z_0 \in H^1(\Omega)$，$B: R^p \to H^1(\Omega)$ 是控制算子，$u \in L^2(0, b; R^p)$ 取决于执行器的数量和结构。

根据引理，该系统的解为：
[
z(t, u) = S_\alpha(t)z_0 + \int_0^t (t - s)^{\alpha - 1}K_\alpha(t - s)Bu(s)ds
]

设 $\omega \subseteq \Omega$ 是具有正勒贝格测度的给定区域，定义 $H: L^2(0, b; R^p) \to