6、双线性群密码学中的假设与模型解析

双线性群密码学中的假设与模型解析

1. 引言

近年来，基于配对的密码学发展迅速，这在很大程度上依赖于大量量身定制的复杂性假设。这些假设通常以缩写或首字母缩写词表示，如 BDH 或 D - Linear，有时还会带有维度参数，如 ℓ - BDHI 或 (ℓ, m) - PolySDH。它们的出现源于在设计新的有用密码方案和确保方案安全性之间寻求平衡的需求。虽然应尽可能优先选择较弱且已确立的假设，但有时为了实现特定目标，可能需要采用新颖或更强的假设。

传统公钥密码学的“因式分解”和“离散对数”分支，所依赖的有用假设数量有限，如 QR 和 RSA 基于因式分解，DL 和 DH 基于离散对数。然而，较新的“配对”分支，尽管本质上是离散对数的一个分支，却已经有了数十种合理的假设，这些假设各自适用于特定类型的构造和安全归约。

面对新的假设，关键问题在于判断其是否自然（基于主观的合理性感知）以及强度如何（以可量化的强度度量）。由于无法证明与 NP 语言相关的密码学假设的定义问题不存在多项式时间解决方案，因此需要在理想化模型中评估这些假设，期望该模型能真实反映所有可预见攻击者的有限能力。

2. 通用双线性群

通用群的概念源于 Nechaev 和 Shoup，最初用于研究素数阶循环群中离散对数（DL）和迪菲 - 赫尔曼（DH）问题的难度。Boneh 和 Boyen 首次将通用群模型扩展到配备配对的群对，为他们的新 SDH 假设提供了一定的合理性证明。

通用群是一个虚构的理想化实体，它精确捕捉了群结构以及任务所需的任何额外特征（如配对），但不包含实际群表示可能显示的任何无关结构。对攻击者隐藏无关结构自然会减少破解方案或其支持假设的可能性