7、双线性群中的假设与Uber假设家族解析

双线性群中的假设与Uber假设家族解析

在双线性群的研究领域中，存在着多种重要的假设，这些假设在密码学方案的设计与安全性证明中扮演着关键角色。下面将详细介绍几种常见的假设以及Uber假设家族的相关内容。

1. SDH相关假设

• Modified SDH ：SDH假设的一种较弱表述。在实例中，不给出 $g$ 的 $\ell + 1$ 次 $\alpha$ 幂序列，而是给出 $\ell$ 对 $\langle w_j, g^{1/(\alpha + w_j)}\rangle$，其中 $w_j$ 是从 $F_p$ 中随机选取的。
  • 实例 ：$g, g^{\alpha} \in G$ 以及 $\ell - 1$ 对 $\langle w_j, g^{1/(\alpha + w_j)}\rangle \in F_p \times G$，$\ell$ 为固定参数。
  • 目标 ：找到另一对 $\langle w, g^{1/(\alpha + w)}\rangle \in F_p \times G$。
• Hidden SDH ：对Modified SDH的进一步变化，不直接给出 $w_j$，而是将其隐藏在指数中，如 $g^{w_j}$。为防止简单攻击，需要在两个指数 $g^{w_j}$ 和 $h^{w_j}$ 中隐藏 $w_j$。
  • 实例 ：$g, g^{\alpha}, g^{\b