3、量子力学原理与量子计算基础

量子力学原理与量子计算基础

量子力学是物理理论发展的框架，在自然科学中起着至关重要的作用，信息理论也从中汲取灵感。理解量子计算需要熟悉量子力学的基本原理。

1. 量子力学的线性代数基础

量子计算和量子力学依赖于狄拉克提出的特定符号形式，并以经典线性代数为支撑，特别是矩阵的厄米结构和张量积。

1.1 基本定义和符号

• 用 (F) 表示实数域 (R) 或复数域 (C)。对于复数 (z = x + iy \in C)，其共轭为 (z^* := x - iy)。
• (M_{m,n}(F)) 表示元素在 (F) 中的 (m \times n) 矩阵空间，当 (m = n) 时记为 (M_n(F))。
• 矩阵 (A = (a_{ij}) {1\leq i\leq m; 1\leq j\leq n} \in M {m,n}(F)) 的复共轭为 (A^ = (a_{ij}^ )_{1\leq i\leq m; 1\leq j\leq n})，转置为 (A^{\top})，厄米共轭为 (A^{\dagger} = (A^*)^{\top})。
• 单位矩阵记为 (I)，强调维度时记为 (I_n)，零矩阵记为 (0_{m,n})。可逆矩阵 (A \in M_n(F)) 满足存在 (B \in M_n(F)) 使得 (AB = BA = I_n)。
• 两个矩阵 (A \in M_{p,m}(F)) 和 (B \in M_{q,n}(F)) 的张量积定义为：
  [
  A \otimes B :=
  \begin{bm