6、线性代数与量子力学基础入门

线性代数与量子力学基础入门

1. 线性代数基础

在量子计算中，线性代数是非常重要的基础。我们先来了解一些基本概念。

1.1 旋转矩阵

有些矩阵作用于向量时，会使输出向量与输入向量处于相同的维度和大小，这类矩阵可以被看作旋转矩阵。例如，矩阵 (X = \begin{pmatrix}0 & 1 \ 1 & 0\end{pmatrix}) 作用于量子比特 (|0\rangle) 时，会将其翻转到 (|1\rangle)，本质上就是对量子比特进行了旋转。

当我们对状态 (|v\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 \ -1\end{pmatrix}) 进行操作时：
[
\begin{align }
X|v\rangle&=\begin{pmatrix}0 & 1 \ 1 & 0\end{pmatrix}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 \ -1\end{pmatrix}\right)\
&=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}0 & 1 \ 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 \ -1\end{pmatrix}\
&=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}-1 \ 1\end{pmatrix}\
&=-|v\rangle
\end{align }
]
在这个例子中，矩阵 (X) 作用于 (