15、基于B样条的四阶椭圆常微分方程分析

基于B样条的四阶椭圆常微分方程分析

1. 弱形式与IGA优势

在工程分析中，我们会遇到这样的积分形式：
[
\int_{0}^{L} \left(\frac{dv}{dx}T(x)\frac{dv}{dx} + \frac{dT(x)}{dx}\frac{dv}{dx} + vkv - vv_{\infty} - vw(x)\right)dx = 0
]
这种积分形式被称为弱形式。与常微分方程（ODE）的强解需要四阶导数不同，在弱形式中，近似基函数只需要非零的二阶导数。为了得到至少分段连续的解，一阶导数需要在区域边界上连续。

在一维有限元分析（FEA）研究中，使用Hermite多项式很容易实现这种连续性。然而，在高维FEA研究中，达到这种连续性水平相当困难。而样条和非均匀有理B样条（NURBS）在所有维度的参数面片区域之间具有默认的连续性，这是等几何分析（IGA）相对于FEA的优势之一。

当 (T \neq 0) 时，横向剪力的一致定义为：
[
V(x) = \left{\frac{d(EI(x)\frac{d^2v}{dx^2})}{dx} - T(x)\frac{dv}{dx}\right} \equiv V_{EI} - V_{T}
]
上述积分方程必须与任何必要的边界条件一起满足。

2. 单元数组与矩阵系统

我们用 ([N_r(u)]) 表示区域 (r) 内未知量的假定基函数表示，它可以代表参数面片区域中的B样条、NURBS或T样条。构件的横向挠度为：
[
v(u) = [N_r(u)]{AP_r^v}
]
其