20、二阶偏微分方程与弹性力学分析

二阶偏微分方程与弹性力学分析

1. 二阶偏微分方程相关内容

在处理二阶偏微分方程时，需要进行一系列的操作来构建系统矩阵。首先，收集支持基函数的每个分析控制点的自由度编号，并将每个单元（iElement）的面积积分的所有行和列分散（组装）到更大的系统矩阵中，具体公式如下：
[
[K] = [K]+ [K_{iE}], [M] = [M]+ [M_{iE}], {F_{B}} = {F_{B}}+ {F_{iE}^{B}}
]
这里假设区域具有单位厚度，即使厚度不为 1，它也会作为常数乘以所有单元矩阵，并且在组装时会相互抵消。通常，区域边界的某些部分存在非零的 Neumann 或 Robin 条件，需要使用类似的一维积分计算来得到源合力。此外，平面概念还包括常见的轴对称域，它们遵循相同的步骤，但在定义每弧度的微元体积时多了一步，即 (dV = R(r_{q}, s_{q}) dA)，并且通常的常数 (\pi) 项在组装后会从所有矩阵中提出，无需多次包含它。

在整数索引空间（Index Space）方面，不同的文献有不同的概念。一些文献在分析节点向量的索引空间边界包含了第一个和最后一个填充项，而这里使用节点向量中的唯一数字，这样更容易识别参数空间中非零基函数的区域。每个非零节点跨度会在其参数坐标方向上定义一个子范围（或单元），索引空间中重叠的基函数支持区域定义了补丁的参数空间。在热分析中，每个分析控制点只有一个未知温度，而在平面应力分析中，每个控制点有两个位移，自由度数量会相应增加。

下面是 B - 样条基函数及其导数的相关公式：
- Cox - de Boor 递归关系（B - 样条基函数） ：