7、工程等几何分析：偏微分方程与边界条件解析

工程等几何分析：偏微分方程与边界条件解析

1. 物理长度计算与雅可比行列式

物理长度的贡献需通过对节点跨度进行积分并求和来评估。计算公式如下：
[
L_r = \sum_{e = 1}^{n_e - 1} \int_{u_e}^{u_{e + 1}} |J(u)| du \approx \sum_{e = 1}^{n_e - 1} (u_{e + 1} - u_e) \sum_{q = 1}^{n_q} |J(u_q)| w_q, \text{ 其中 } u_e \leq u_q < u_{e + 1}
]
[
L_r \approx \sum_{e = 1}^{n_e - 1} (u_{e + 1} - u_e) \sum_{q = 1}^{n_q} \sqrt{(\frac{dx(u_q)}{du})^2 + (\frac{dy(u_q)}{du})^2} w_q
]

雅可比矩阵和行列式的相关定义：
- 雅可比矩阵：([J_r (\boxdot)] = \frac{\partial N(\ )}{\partial} x_r)
- 雅可比行列式：(|J(\boxdot)| = \det ([J_r (\boxdot)]))

微分体积的计算：
- 一维：(dx = |J(r)| dr = |\frac{\partial x(r)}{\partial r}| dr)
- 二维：(dA = dx dy = |J (r, s)| dr ds)
- 三维：(dV = dx dy dz = |J(r, s, t)| dr ds dt)

通过逆雅可比矩阵得到