4、连续与离散信号的傅里叶分析

连续与离散信号的傅里叶分析

1. 傅里叶变换的基本性质

1.1 时移性质

对于任意实数整数 (m)，有 (F{f(n - m)}=F(k)e^{-j\frac{2\pi mk}{N}}) （式 2.30）。这个公式表明，如果函数在时域向右移动 (m) 个单位，其频谱幅度不变，但相位谱会加上一个线性相位因子 (-\frac{2\pi m}{N})。我们可以通过练习 2.7.1 和 2.7.2 来验证相关公式。

1.2 频移性质

对于任意整数 (m)，(F{f(n)e^{j\frac{2\pi n}{N}m}}=F(k - m)) （式 2.31）。

1.3 时域卷积

基于离散时间卷积，由于两个信号都以采样周期 (N) 为周期，即 (f(n)=f(n + pN))，(h(n)=h(n + pN))，(p = 0,\pm1,\pm2,\cdots) （式 2.32），这种卷积被称为循环卷积。卷积表达式的离散傅里叶变换（DFT）为 (Y(k)=F{f(n)*h(n)}=F(k)H(k)) （式 2.33），练习 2.7.3 要求我们验证这个公式。

以两个周期序列 (f(n)={1, 2, 3}) 和 (h={1, 1, 0}) 为例，通过图形展示卷积过程。当不进行移位时，结果为 (1\times1 + 2\times0 + 3\times1 = 4)；将内圈逆时针移动一步，输出为 (1\times1 + 2\times1 + 3\times0 = 3) 等。并且 (y(n)) 是周期的，由于 (F(k)) 和 (H(k)) 是周期的，(Y(k)) 也是周期的。

另一种计算循环卷