33、哈密顿 - 雅可比理论：量子理论的经典根源

哈密顿 - 雅可比理论：量子理论的经典根源

1. 欧拉 - 拉格朗日方程与变分问题

在变分问题中，若曲线 (q(t)) 在 (t_0 < t < t_1) 内，其值和导数都接近某一特定曲线，那么 (q(t)) 需满足 (n) 个二阶欧拉 - 拉格朗日方程：
[
\frac{d}{dt}L_{\dot{q} i} - L {q_i} = 0, \quad i = 1, \ldots, n
]
满足这些方程的曲线被称为极值曲线。我们暂不深入探讨这些方程的常规推导，后续会看到不依赖固定端点对的推导方法。同时，也不详细讨论变分法中的一些相关问题，如平稳性与极值的区别、弱平稳点和强平稳点及极值的差异，以及对解和比较曲线光滑性的较弱假设等。

变分问题的规范形式十分重要。在物理学中，哈密顿原理在哈密顿力学中的表达就是一个常见例子，此时被积函数是 (q) 和 (p) 的函数，且二者可独立变化。在一定条件下，变分问题有等价形式，其欧拉 - 拉格朗日方程为 (2n) 个一阶方程。为此，引入“动量”：
[
p_i := L_{\dot{q} i}
]
并假设关于 (\dot{q}) 的黑塞矩阵在区域 (G) 内行列式不为零，即
[
\left|L {\dot{q} i \dot{q}_j}\right| \neq 0
]
这样就可将 (\dot{q}_i) 表示为 (q_i)、(p_i) 和 (t) 的函数。以下方程代表勒让德变换及其逆变换：
[
\begin{cases}
p_i = L {\d