35、从哈密顿 - 雅可比理论到量子力学的探索

从哈密顿 - 雅可比理论到量子力学的探索

1. 哈密顿 - 雅可比方程与几何光学原理

哈密顿 - 雅可比方程在经典物理和量子物理的过渡中扮演着重要角色。当把特征函数 (S(q_1, t_1; q_2, t_2)) 视为关于 (n + 1) 个自变量 ((q_2, t_2)) 的函数（((q_1, t_1)) 固定）时，它满足哈密顿 - 雅可比方程：
(\frac{\partial S}{\partial t} + H(q_i, \frac{\partial S}{\partial q_i}, t) = 0)

假设解 (S) 是 (C^2) 类的，它定义了一族以 (P_1 = (q_1, t_1)) 为中心的测地等距超曲面，即测地超球面。半径为 (R) 的球面方程为：
(S(q_1, t_1; q_2, t_2) = R)

球面上的每一点 (P_2) 都通过一条唯一的极值曲线与固定中心 (P_1) 相连，沿这条曲线的基本积分值为 (R)，且这些极值曲线与球面横截相交。

1.1 惠更斯原理

通过取这些测地超球面的包络，我们可以构建任意一族测地等距超曲面，这就是几何光学中惠更斯原理的基本思想。设 (h_1) 和 (h_2) 是对应于 (S) 的值 (\sigma_1) 和 (\sigma_2) 的两个超曲面，若 (P_1) 在 (h_1) 上，通过 (P_1) 的正则极值曲线 (C) 与 (h_2) 相交于 (P_2)，则沿 (C) 的基本积分值为 (\sigma_2 - \sigma_1)，这意味着 (P_2) 在以 (P_1) 为中心、半径为 (\sigma_2 - \sigma_1) 的测地球面上。惠更斯原理指出，(