戴德金--连续性和无理数--我自己做的中文翻译第7页

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#算法 #概率论 #抽象代数

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本文探讨了实数分割中的有理数与无理数性质，通过证明某些分割不能由有理数产生，揭示了R（实数域）的不连续性。通过构造新数与分割的对应关系，强调了无理数在定义实数全序中的关键作用。

$−−−−−−−以下为原文第7页内容−−−−−−−\quad\quad\quad\quad -------以下为原文第7页内容-------$
$并且我们可以假设 u 是满足这个条件的最小正整数：其平方乘以 D 后，是一个正数 t 的平方。因为显然$
$λu<t<(λ+1)u,\quad\quad\quad \lambda u <t<(\lambda +1)u,$
$数字u′=t−λu是一个正整数，当然小于u。如果我们进一步设数字u'=t-\lambda u 是一个正整数，当然小于u。如果我们进一步设$
$t′=Du−λt,\quad\quad\quad t'=Du-\lambda t,$
$t^{'} 同样是一个正整数，并且我们有$
$t′2−Du=(λ2−D)(t2−Du2)=0\quad\quad t'^2-Du=(\lambda^2-D)(t^2-Du^2)=0$
$这显然与我们对 u 的假设矛盾。$
$\quad\quad$ 这样，由D产生的分割中的第一类和第二类中的每个有理数x的平方或者<D,或者>D。由此可见，A1中无最大数，A2中无最小数。因为我们可以设
$y=x(x2+3D)3x2+Dy=\frac{x(x^2+3D)}{3x^2+D}$
我们得到
$y−x=2x(D−x2)3x2+Dy-x=\frac{2x(D-x^2)}{3x^2+D}$
并且
$y2−D=(x2−D)3(3x2+D)2y^2-D=\frac{(x^2-D)^3}{(3x^2+D)^2}$
$\quad\quad$ 此时，如果x是属于 $A_{1}$ 的正数,那么 $x^2$ <D,此时y>x,且 $y^2$ <D。则y属于 $A_{1}$ 。但是，如果我们假设x属于 $A_{2}$ ,则有 $x^2$ >D,y>0,于是y<x,y>0,且 $y^2$ >D。因此，y属于 $A_{2}$ 。由此可见，这个分割是由非有理数产生的。
$\quad\quad$ 并非所有的分割都是由有理数产生这个事实，说明有理数域R是不完备的，或者是说不连续的。
$\quad\quad$ 只要我们遇到一个由非有理数产生的分割，我们就创造出了一个新的，一个无理数 $α\alpha$ ,我们认为其完全由分割cut(A1,A2)产生；我们应该说这个新数 $α\alpha$ 对应于这个分割，或者说它产生了这个分割。从现在开始，每一个确定的分割都对应于一个确定的有理数或无理数，只要两个分割本质上不同，我们就说产生这两个分割的数不等。
$\quad\quad$ 为了获得全体实数，即有理数和无理数的有序排列的基础，我们必须研究分别由 $α\alpha$ 和 $β\beta$ 产生的两个分割 $A_{1},A_{2})$
和 $B_{1},B_{2})$ 中间的关系。显然，当分割 $A_{1},A_{2})$ 中的一个，例如 $A_{1}$ 给定之后，这个分割就完全确定了，因为 $A_{2}$ 就是有理数去掉 $A_{1}$ 后剩下的全体有理数。分割中的第一个类，具有这样的特性，如果 $a_{1}$ 是第一类的元素，那么所有小于 $a_{1}$ 的数，都包含在第一类中。（接下页）