戴德金--连续性和无理数--我自己做的中文翻译第6页

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本文探讨了如何通过填充有理数域中的空隙创造无理数，从而将不连续的有理数集升级为完整的连续域。作者通过一个正整数D非完全平方的例子，展示了一个不是由有理数产生的分割，证明了存在无数个非有理数分割。这一过程涉及到数学中的分划概念，以及如何通过反证法证明某个分割不可能由有理数产生。

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即使我们确定直线上的空隙是断续的，也没有什么能阻挡我们把这些空隙填满，使之连续。这个
“填空”就是创造新数，并且这些新数也符合上面的原则。
$\quad\quad\quad\quad$ 四、无理数的创造
$从上面最后一句话易见有理数构成的断续域R将如何被升级为完整系统，从\quad\quad 从上面最后一句话易见有理数构成的断续域R将如何被升级为完整系统，从$
而成为一连续域。第一部分已经指出，每一个有理数a都能使系统R（有理数域）产生一个分割，
使得第一类A1内的每个数字a1，小于第二类A2内的所有点a2，a或者是第一类的最大值，或者是
第二类的最小值。如果任何一个把系统R分为两类的分割，其产生的第一类A1的每个数a1，都小
于第二个类A2中的每个数a2，我们称这样的分割为“分划”，即cut，表示为（A1，A2）。那么我
们可以说，每个有理数a都能产生一个分割，或者说产生两个分割，这两种说法本质上都一样。
这个分割同时还具有这个特性：或者A1有最大值，或者A2有最小值。反之，如果一个分划具有
上述特性，那么这个分划或者是由第一类的最大值产生，或者是由第二类的最小值产生。反之，
如果一个分划具备这个特性，那么该分划是由这个最大值或最小值产生。
$显然，同样存在无数个不是有理数产生的分割。下例为证。\quad\quad显然，同样存在无数个不是有理数产生的分割。下例为证。$
$设D是一个正整数，且不是一个完全平方数，那么存在正整数λ，有：\quad\quad设D是一个正整数，且不是一个完全平方数，那么存在正整数λ，有：$
$λ2<D<(λ+1)2\quad\quad\lambda^2<D<(\lambda+1)^2$
如果我们指定每个平方数大于D的正有理数a2属于A2类，其他全部有理数a1划入A1类，这样的划分，
显然构成了分割（A1，A2),即每个数a1都小于每个数a2,因为如果a1=0，或者是负数，那么显然a1小
于任何一个a2，因为根据定义，A2中的最后一个数是正数；如果a1是正数，那么其平方数 $≤\leq$ D，
因此，a1小于任何一个平方数>D的正数a2。
$\quad\quad$ 但是，这个分割不是由有理数产生的。为证明这一点，必须先证明不存在有理数，其平方和
是D。尽管用初等数论可以轻松证明这一点，但是下面的这个间接证明也有意义。下面用反证法证明。
假设存在一个有理数，其平方为D，那么存在正数两个正数t,u,他们满足等式:
$t2−Du2=0,\quad\quad t^2-Du^2=0,$